Ableitung berechnen – Grundlagen, Beispiele + Video

Hier erfahrt ihr alles über die Grundlagen der Differentialrechnung und somit über die Grundlagen der Ableitung von Funktionen. Dabei gilt es vor allem, die Steigung der verschiedenen Funktionen zu errechnen und die Auswirkung derer auf die Art der Funktion zu verstehen.

Beim Einstieg in die Thematik werden leider unvorteilhaft von vornherein zumeist viele Fremdwörter genannt, wie zum Beispiel „Sekante“, „Tangente“, „Stetigkeit“ und etliche andere, welche zum einen sehr komplex erscheinen und zum anderen das Verständnis demnach unausweichlich erschweren, obwohl das Ganze im Prinzip sehr simpel und auch logisch zu erklären wäre. Daher findet ihr nachfolgend eine gelungene Erklärung, indem zuerst auf die lineare Funktion eingegangen wird.

Konstante Steigung

In der nachfolgenden Grafik ist eine Funktion, dessen Steigung zu berechnen ist, mit Hilfe eines sogenannten „Steigungsdreiecks“ eingezeichnet. Die Steigung in der Mathematik ist vergleichbar mit derselben, wie sie auch in unserem Alltag zu finden ist. So findet man diese unter anderem auf Straßenschildern bei Bergauffahrten, welche man, um auf den Hügel zu gelangen, mit dem Auto oder zu Fuß beispielsweise, bewältigen muss. Mathematisch kann man diese Steigung durch Funktionsterme beschreiben und somit definieren.

konstante-steigung

Berechnen der konstanten Steigung (lineare Funktion)

Anmerkung: Auf den ersten Blick erkennt man die immer gleich bleibende Steigung der Funktion. Um diese zu berechnen, sind zwei beliebige Punkte zu wählen, mit welchen man daraufhin das Steigungsdreieck bildet. Dieses dient dazu, die Steigung der linearen Funktion wie in folgenden Schritten von Beginn an noch einmal erläutert, auszurechnen:

Auswählen eines beliebigen Punktes 1 auf der Geraden im Koordinatensystem: x = 6 und y = 3 Auswählen eines beliebigen Punktes 2 auf der Geraden im Koordinatensystem: x = 2 und y = 1
Δy bedeutet die Differenz der y-Werte, daher subtrahiert man die y-Angaben: 3 – 1 = 2
Δx bedeutet die Differenz der x-Werte, daher subtrahiert man die x-Angaben: 6 – 2 = 4
Die Steigung m lässt sich durch die Division bilden, daher rechnet man: Δy : Δx = 2 : 4 = 0,5
-> Die Steigung m beträgt also 0,5.
-> Die allgemeine Formel lautet: m = Δy : Δx
Da hier die Steigung immer dieselbe bleibt, ist diese sehr einfach zu ermitteln. Ein wenig anders ist es dahingegen bei nicht konstanten, „krummen“ Funktionen. Genau diese Thematik behandelt die Differentialrechnung, die die Berechnung lokaler Veränderungen von Funktionen auswertet, beschreibt und für die die Ableitung der Funktionsterme unverzichtbar ist.

Nicht konstante Steigung

Nach der Erkenntnis, dass die obige Funktion überall gleich war und damit deren Steigung immer den selben Wert betrug (0,5 und stets positiv, da diese durch den |. Und |||. Quadranten verläuft), werfen wir nun einen Blick auf eine nichtlineare Funktion. Betrachtet zunächst folgende Grafik genau und seht, was euch dabei im Vergleich zur linearen Funktion auffällt:

nicht-konstante-steigung

Berechnen der nicht konstanten Steigung (nichtlineare Funktion)

Anmerkung: Um die Steigung in einem bestimmten Punkt herauszufinden, zeichnet man diesen zuerst in das vorliegende Koordinatensystem ein. Geeignet hierfür nehmen wir zum Beispiel den Punkt x = 2; y = 1. Um das benötigte Steigugsdreieck, wie bei der linearen Funktion zu erhalten, tragen wir einen zweiten Punkt, mit den Koordinaten x = 7 und y = 5,5, ein. Die sogenannte Sekante erhalten wir durch das Verbinden dieser Punkte, welche die Funktion wiederum an zwei Stellen berührt (Schnittpunkte, „Berührpunkte“ mit der Geraden ). Bei der linearen Funktion konnten wir anhand diesen Steigunsdreiecks nun die Steigung berechnen, ..

… doch leider muss man bei genauerem Betrachten der Funktion feststellen, dass diese ungleich der exakten Steigung im Punkt x = 2 und y = 1 ist. Der ausschlaggebende Grund hierfür ist, dass diese Funktion ständig die Steigung ändert und daher auch „gekrümmt“ ist. Der zweite Punkt ist daher direkt neben dem ersten Punkt, den wir ausgesucht haben, zu wählen, sodass dieser schon beinahe auf ihm liegt. Folglich existiert nur noch einen Schnittpunkt mit der Funktion (z.B. Parabel), welche daher der sog. Tangente mit der exakten Steigung entspricht.

Die Differentialrechnung

In der Analysis ist die Differentialrechnung ein wesentlicher Bestandteil und untersucht das Steigungsverhalten von Funktionen einschließlich dessen Veränderungen. Unausführliche Erklärungen der Herleitung erschwert so manchen Schülern das gesamte Themengebiet.
Grundsätzlich sind jedoch mit ein paar wichtigen Punkten, die man sich leicht einprägen kann, die größten Schwierigkeiten überwunden.
Merke: Das Steigungsverhalten ermittelt man durch das Ableiten einer Funktion
Bei Beachten einiger Ableitungsregeln, welche in den nächsten Artikeln genauer erläutert werden, ist auch die Ableitung simpel zu meistern.
Basiswissen hierfür ist, dass die
Ausgangsfunktion f(x)=… bzw. f’y)=… ist und die folgende Ableitung zunächst f'(x) = … bzw. f’y)=… (mit der nächsten Ableitung bildet man dann f“(x)=… bzw. f“(y)=… usw.). In den folgenden, weiteren Artikeln erfahrt ihr mehr und genauere Details über die Regeln der Ableitung.

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