Ableitung: Faktorregel, Potenzregel und Summenregel + Beispiele

Dieser Artikel beschäftigt sich mit der Ableitung von Funktionen. Genauer gesagt widmen wir uns der Faktor-, der Potenz- und der Summenregel, die wir anhand von Beispielen erklären.

Da die Grundlagen der Differentialrechnung Voraussetzung für das Verstehen der folgenden Ableitungsregeln sind, empfehlen wir vor dem Durcharbeiten dieses Artikels die Basisartikel zu lesen. Wer bereits Grundwissen besitzt, kann nun mit der Faktor- und der Potenzregel beginnen:

Faktor- und Potenzregel

Mit Hilfe der Potenzregel können Funktionen wie f(x) = y = x3 abgeleitet werden. Die Faktorregel hilft bei der Ableitung von Funktionen wie f(x) = y = 4x. Natürlich kann es auch zu Kombinationen von Faktor- und Potenzregeln kommen. Die Grundregel lautet: y = xn => y‘ = n·xn-1. In Worten: Verringere die Hochzahl um eins und mulitpliziere mit der alten Hochzahl! Konstante Faktoren bleiben erhalten. Die Vorgangsweise bei Faktor- und Potenzregel ist die folgende:

  • Wir schreiben die Aufgabe an (y = …)
  • Wir schreiben y‘ =
  • Wir schreiben die alte Hochzahl von x hinter y‘ =
  • Wir schreiben x
  • Wir verringern die Hochzahl um eins
  • Faktoren bleiben unverändert

Um die ausformulierte Erklärung zu veranschaulichen, geben wir euch hier einige Beispiel:

  • y = x3 => y‘ = 3x
  • y = x6 => y‘ = 6x
  • y = x14 => y‘ = 14x
  • y = 3x2 => y‘ = 3·2x1 = 6x
  • y = 4x5 => y‘ = 4·5x4 = 20x4
  • y = 6x3 => y‘ = 6·3x2 = 18x2
  • y = 12x => y‘ = 12x0 = 12

Versucht die Beispiele zu verstehen und beachtet außerdem, dass die Ableitung einer Zahl immer Null ist:

  • y = 8 => y‘ = 0

Summenregel

Die Summenregel besagt, dass Teilfunktionen, die durch ein Plus voneinander getrennt sind, separat abgeleitet werden. Anhand der folgenden Beispielen wird dies klarer:

  • y = x2 + x2 => 2x + 2x
  • y = 4x2 + 5x => 4·2x + 5 = 8x + 5
  • y = 3x2 + 2x3 => 3·2x + 2·3x2 = 6x2 + 6x

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