Ableitung: Umkehrregel einfach erklärt + Beispiele

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In diesem Artikel geht es um die Umkehrregel, wie man sie richtig ableitet und dazu gehörige Beispiel.

Die Umkehrregel

Als erstes solltest du natürlich wissen, was die Umkehrregel überhaupt ist. Das möchte ich anhand von ein paar Beispielen genauer erläutern. Aber erst einmal zeige ich euch die allgemeine Gleichung.

Umkehrregel Gleichung:

Wenn eine umkehrbare Funktion der Form y = f(x) vorliegt und gleichzeitig x = g(y) die nach x umgeformte Darstellung dieser Funktion dann kommt diese Formel dabei raus:

umkehrregel

Und natürlich darf auch hier der Nenner nicht null ergeben.

Damit du die Umkehrregel auch richtig verstehst und richtig einsetzt, musst du folgende Schritte beachten:

  • du schreibst dir y = f(x) auf
  • du leitest f(x) ab und dann erhältst du y = f(x)
  • du stellst du f(x) nach x um
  • du setzt in die Gleichung f(x) ein
  • du ersetzt den Ausdruck von f(x) durch y
  • du vertauscht x und y

1. Beispiel

Gegeben sei die Funktion y = f(x) = eͯ und gesucht ist die Ableitung der Umkehrfunktion.

  • – Im ersten Schritt schreibst du natürlich erst einmal die Aufgabe ab und leitest die Funktion für den zweiten Schritt ab.
  • – In diesem Beispiel ist die Ableitung von eͯ nicht schwer, da die Ableitung von eͯ wieder eͯ ist.
  • – Im dritten Schritt löst du y = eͯ nach x auf. Um das zu machen brauchst du den natürlichen Logarithmus. Den Logarithmus musst du an beiden Seiten anwenden. Wenn du das gemacht hast erhältst du x = In(y).
  • – Im nächsten Schritt setzt du in die Gleichung für f(x), eͯ ein. Genauso wie im zweiten Schritt. Dadurch bekommt die Gleichung g(y) = 1 durch eͯ heraus.
  • – In Schritt 5 kannst du ganz einfach für eͯ, y einsetzten.
  • – Im sechsten und letzten Schritt tauschst du einfach y durch x aus und dadurch erhältst du die Ableitung der Umkehrfunktion durch die Anwendung der Umkehrregel. Falls du das jetzt noch nicht verstanden hast, ist es hier noch einmal ausführlicher erklärt:

1) y = f(x) = eͯ
2) y = f(x) = eͯ
3) x = lny

4) g(y) = 1/f(x) = 1/eͯ
5) g(y) = 1/y
6) g(x) = 1/x

2. Beispiel

Gegeben ist die Funktion y = f(x) = tan x und gesucht ist nun die Ableitung der Umkehrfunktion.

  • – Bei diesem Beispiel erhältst du die Ableitung zu f(x) = tan²x + 1, die du ganz einfach in der Formelsammlung finden kannst.
  • – Dann stellst du y = tan x nach x um und erhältst dann x = arctan(y).
  • – In dem vierten Schritt gehst du in die oben genannte Formel.
  • – Als nächstes Schritt kannst du aus tan²x, y machen.
  • – Im letzten Schritt tauschst du wieder y durch x aus.

1) y = f(x) = tanx
2) y = f(x) = tan²x + 1
3) x = arctan (y)

4) g(y) = 1/tan²x + 1
5) g(y) = 1/y2 + 1
6) g(x) = 1/x² + 1

Ich hoffe du hast die Umkehrregel jetzt ein wenig verstanden und hast keine Probleme mehr im Unterricht. Allerdings lernt man die Umkehrregel nur in einigen Bundesländer. In anderen Bundesländer lernt man das erst in der Ausbildung, im Beruf oder im Studium.

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