Additionsverfahren & Subtraktionsverfahren leicht erklärt + Beispiele

Additionsverfahren & Subtraktionsverfahren

Spätestens in den ersten Jahrgängen an der Schule kommt man mit mathematischen Rechnungen in Berührung. Diesen Kenntnissen kommt ein grundlegender Stellenwert zu. Nicht nur in den weiterführenden Klassen, sondern auch im alltäglichen Gebrauch.
In der Mathematik trägt jede Rechenart einen bestimmten Namen. Vielen ist die eigentliche Wortbedeutung solcher Fachbegriffe nicht bekannt. Aus diesem Grund soll im folgenden Text erklärt werden, was Additions- beziehungsweise Subtraktionsverfahren sind. Zudem sind in den Rubriken passende Beispiele zu finden, mit denen die jeweilige Rechnungsart verdeutlicht wird.

Was ist eine Addition?

Die Addition beschreibt die klassische Plusrechnung. Das Endergebnis ist immer größer als der Ursprungswert, welcher durch die Addition vergrößert wird. Grundsätzlich lässt sich eine Addition mit allen Zahlen außer 0 durchführen. Würde mit 0 addiert werden, so ergibt das Ergebnis keinen erhöhten Zahlenwert:

Beispiel: 1 + 0 = 0

Der Wert 1 bleibt bei einer Addition mit 0 unverändert. Somit ist das Addieren mit 0 zwar rein mathematisch möglich, hat aber keine Auswirkungen auf den Zahlenwert.

Beispiel: 1 + 1 = 2

Diese Variante stellt die kleinstmögliche Addition dar. Mithilfe der entsprechenden Zeichensetzung wird die mathematische Darstellung vereinfacht. Da die Zeichen eine allgemeine Gültigkeit besitzen, werden sie auf der ganzen Welt verstanden und bedeuten immer dasselbe.

Beispiel: 10 + 10 = 20

Hier wird 10 zu 10 addiert. In der Umgangssprache heißt es ’10 wird plus 10 gerechnet’ oder auch ‘Zu 10 werden weitere 10 dazugezählt’.

Was ist ein Subtraktion?

Mit dem Begriff ‘Subtraktion’ sind Rechenoperationen gemeint, bei denen Minus genommen wird. Ähnlich wie im ersten Fall funktioniert das Subtrahieren mit jeder Zahl, abgesehen von dem Wert 0.

Anders als bei einer Addition verringert sich die Höhe des Ursprungswertes. Durch die Subtraktion verliert er eine bestimmte Menge. Somit kann eine Subtraktion als Gegenstück zur Addition angesehen werden.

Beispiel: 20 – 10 = 10

Bei der Minusrechnung werden 10, also die Hälfte, von 20 subtrahiert. Von den ursprünglichen 20 wurden 10 abgezogen. Deshalb ist der finale Zahlenwert niedriger als am Anfang.

Beispiel: 1 – 1 = 0

Die Rechnung 1 – 1 = 0 ist die kleinste Subtraktion mit reellen Zahlen, denn das Ergebnis lautet 0. In diesem Fall bleibt am Ende des Subtrahierens nichts mehr übrig.

Additionen und Subtraktionen gehören zu den häufigsten Rechnungsformen im Alltag. Eine vergleichbare Häufigkeit kommt den Mal- und Geteilt-Rechnungen zu.

Was sind Additions- und Subtraktionsverfahren?

Additions- beziehungsweise Subtraktionsverfahren werden gebraucht, um unbekannte Variablen in einer Rechnung zu ermitteln. Deshalb gehen solche Rechnungen über die oben aufgeführten Beispiele weiter hinaus. Mithilfe von Additions-/Subtraktionsverfahren werden zwei (oder mehrere) lineare Gleichungen gegenübergestellt.

Beispiel: 4y = 10 – x
– 4x – 15 = – 6y

Bei diesen Gleichungen stehen die Buchstaben x und y für unbekannte Werte. Sie repräsentieren die Zahlen, die durch die Rechnung ermittelt werden sollen.

x + 4y = 10
– 4x + 6y = 15

Um eine bessere Übersicht zu erhalten, werden die einzelnen Variablen auf die linke, die reellen Zahlen hingegen auf die rechte Seite verschoben. Da – und – zusammen + ergeben, steht bei der zweiten Gleichung + 6y.

4x + 16y = 40
– 4x + 6y = 15

Im nächsten Schritt wird die obere Gleichung * 4 gerechnet. Da sich die Rechnung 4 x – 4x aufhebt und 0 ergibt, können diese Variablen gestrichen werden.

16y = 40
6y = 15

Werden nun 40 durch 16, und 15 durch 6 geteilt, kommt der Wert 2,5 heraus:

y = 2,5

Mathematiker bezeichnen das Endergebnis oftmals als Lösungsmenge.
Das Subtraktionsverfahren funktioniert folgendermaßen:

Beispiel: – 14 + x = – y + 4z
6x – y = 4 – z
– 16 + 10z = – 4x – 6y

Anstelle von zwei liegen hier drei Gleichungen vor. Die Anzahl der Variablen wird um z erweitert.

x + y – 4z = 14
6x – y + z = 4
2x + 6y + 10z = 16

Genau wie im ersten Beispiel werden die jeweiligen Variablen und die Zahlen auf eine Seite verschoben. Um die Variablen aufzulösen, werden die ersten beiden Gleichungen betrachtet:

x + y – 4z = 14
6x – y + z = 4

Die erste Gleichung wird mit 6 malgenommen.

6x + 6y – 24z = 84
6x – y + z = 4

Nun wird die zweite Gleichung von der ersten subtrahiert.
Dabei kommt das folgende Ergebnis heraus:

5y – 25 z = 80

Jetzt wendet man sich der ersten und der dritten Gleichung zu. Die erste wird * 2 gerechnet.

2x + 2y – 8z = 28
2x + 6y + 10z = 16

Darauf folgt wieder eine Subtraktion….

-4y – 18z = 12

… und die letzte Variable liegt vor: -4y – 18z = 12

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