Äquivalenzumformung einfach erklärt – Beispiele + Video

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Dieser Artikel behandelt die Äquivalenzumformung im Themengebiet der Mathematik. Es soll geklärt werden, wann Äquivalenzumformungen benötigt und wie sie vorgenommen werden.

Die Äquivalenzumformung bezeichnet das Umstellen einer mathematischen Gleichung oder Ungleichung, die den Wahrheitsgehalt der eigentlichen Gleichung unangetastet lässt. Das heißt, dass das Ergebnis der Gleichung durch das Umstellen nicht geändert wird. Es basiert auf den selben logischen Fakten, wie in der Ursprungsgleichung. Oft sind Äquivalenzumformungen die einzige Möglichkeit, eine mathematische Gleichung zu lösen.

Die Äquivalenzumformung für Gleichungen

Die Äquivalenzumformung hilft bei der Ermittlung einer unbekannten Variable. Symbolisiert wird dieser Wert meist mit x. Ziel der Umformung ist es, dem Wert x eine Zahl zuzuordnen (x = Zahl). Zur Erläuterung folgt an dieser Stelle ein Beispiel:

  • x + 2 = 5  | -2
  • x = 3

Zuerst wird die ursprüngliche Gleichung genannt. Diese muss mit Hilfe der Äquivalenzumformung nach x aufgelöst werden, um dem Wert eine Zahl zuzuordnen. Obwohl die Gleichung verändert wird, bleiben die Werte auf beiden Seiten identisch. Es wird sozusagen nur die Oberfläche verändert und der Inhalt bleibt gleich. Damit der x-Wert ermittelt werden kann, muss die 2 auf der linken Seite der Gleichung entfernt werden. Steht hinter dem x ein positiver Wert (+2), so muss die Zahl subtrahiert, steht dort ein negativer Wert (-2), so muss die Zahl addiert werden.

Allerdings könne Zahlen nicht einfach aus einer Rechnung verschwinden, sondern müssen immer wiederfindbar sein. Ansonsten würde der Inhalt der Gleichung verfälscht werden. Rechnet man also auf einer Seite der Gleichung -2, um den x-Wert zu bereinigen, so muss auch auf der anderen Seite der Gleichung -2 gerechnet werden. Um die Rechenschritte nachvollziehbar zu machen, ist es üblich den angewandten Schritt an der Seite zu vermerken. Dies sieht in etwa so aus: |-2.

Die Äquivalenzumformung für Ungleichungen

Auch mathematische Ungleichungen können umgeformt werden. Ungleichungen zeichnen sich durch ein Größer- bzw. Kleiner-Verhältnis aus. Die Darstellung erfolgt, wie in der Grundschule so schön erlernt, durch „Krokodilmäuler“ (< = kleiner als; > größer als).Auch kleiner gleich (≤) und größer gleich (≥) Ungleichungen sind möglich. Die Äquivalenzumformung erfolgt mit Ausnahme einer Sonderregel wie bei den Gleichungen.

Wird im Zuge der Äquivalenzumformung die Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert, so tauschen sich die Ungleichheitszzeichen aus (< wird zu >, ≤ wird zu ≥)
Lediglich diese Regel sollte unbedingt beachtet werden. Ansonsten dürften die folgenden Beispiele selbsterklärend sein:

Beispiel 1:

4x + 10 ≥ 14

| -10

4x ≥ 4

| :4

x ≥ 1

Beispiel 2:

-12x + 12 < 24

| -12

-12x  < 12

| :-12

x > -1

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