Bernoulli-Experiment in Statistik leicht erklärt + Beispiel

Ein Bernoulli-Experiment

Das Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment, welches lediglich 2 Ergebnisse haben kann:
• positives Ergebnis (ein Erfolg) und
• auch ein negatives Ergebnis (also ein Mißerfolg).
Begriffe wie ein positives Ergebnis oder der Erfolg, sind etwas missverständlich, den sie bedeuten nicht, dass das ein Ergebnis wirklich auch etwas gutes ist, sondern beziehen lediglich nur auf ein Ereignis, für welches man sich interessiert, deswegen kann auch dieser Befund, defekt in einer Qualitätskontrolle als ein Erfolg definiert werden, weil man sich für diesen interessiert.

Einige Beispiele

Der Münzwurf kann nur 2 Ergebnisse haben: Kopf oder eben Zahl (in sehr selteneren Fällen kommt die Münze auch dabei auf der Seite auf so einen außergewöhnlichen Fall ignorieren wir).
Auch ein Wurf eines Würfels könnte man ebenso als ein Bernoulli-Versuch beschreiben (obwohl hier eigentlich sechs Ergebnisse möglich sind). Dabei könnte man beispielsweise ungerade Augenzahlen 1, 3 und 5 als einen Erfolg und gerade Augenzahlen 2, 4 und 6 als einen Mißerfolg ansehen. So hat man dann wieder nur zwei mögliche Ergebnisse: die Ungerade Augenzahl und die Gerade Augenzahl.
Ein Bernoulli-Experiment kann einmal oder auch mehrmals durchgeführt werden, in letztem Fall liegt eine Bernoulli-Kette vor.

Voraussetzung für eine Bernoulli-Kette ist, dass bei einer Wiederholung das Experiment unter gleichen Voraussetzungen abläuft wie beim ersten mal, da sich sonst alle Voraussetzungen bei jedem Zug ändern würden.
Bei sehr großen Grundgesamtheiten wird dies nicht ganz so streng gesehen, da eineWahrscheinlichkeit sich nur geringfügig ändern kann.

Alternativer Begriff: Bernoulli-Versuch.

Ein Beispiel für einen Bernoulli-Versuch

Ein Würfel wird insgesamt 6 mal geworfen. Wie hoch ist dabei eine Wahrscheinlichkeit, dass genau insgesamt 4 mal eine Zahl >= 5 kommt?
Dabei gibt es also 2 mögliche Ergebnisse: >= 5 oder nicht >= 5 (bzw. <= 4). Wahrscheinlichkeiten für eine Zahl >= 5 ist also 2/6, eine Gegenwahrscheinlichkeit ist dabei 1 – 2/6 = 6/6 – 2/6 = 4/6.
Eine Wahrscheinlichkeit für 4 mal eine Zahl >= 5 bei je 6-maligem Würfeln ist dabei:
{ 6! / [ 4! × (6 – 4)! ] } × 2/6 4 × 4/6 (6 -4)
= { (6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) / [ (4 × 3 × 2 × 1) × (2 × 1) ] } × 1/3 4 × 2/3 2
= 15 × 1/3 4 × 2/3 2 = 0,0823 (also ca. 8,2 %).
Hier ist das Zeichen ! für eine Fakultät, 6 ist dabei die Anzahl von den Versuchen und die 4 eine Anzahl der Erfolge.

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Eine Erläuterung

2/6 (oder gekürzt 1/3) ist eine Wahrscheinlichkeit, bei welcher eine Zahl >= 5 kommt, also 2/6 × 2/6 ist eine Wahrscheinlichkeit, dass zweimal die Zahl >= 5 kommt … und (2/6)4 ist dann eine Wahrscheinlichkeit, dass viermal die Zahl >= 5 kommt; analog dazu ist eine Wahrscheinlichkeit, dass zweimal eine Zahl nicht >= 5 ist 4/6 × 4/6 = (4/6)2.
Es gibt also mehrere Möglichkeiten, in der die Anordnungen von einem Würfel 4 mal >= 5 und 2 mal <= 5 sind, beispielsweise die ersten 4 x >= 5 und die letzten 2 x <= 5 oder die ersten 3 x >= 5, dann zweimal <=5 und dann auch beim 6. Wurf wieder >= 5, … eine Anzahl von Möglichkeiten ist durch einen Term { 6! / [ 4! × (6 – 4)! ] } = 15 genau bestimmt, ein Term entspricht dabei dem Binomialkoeffizienten B (6 über 4).

Das Bernoulli-Experimente und seine Verteilung

Bei dem Bernoulli-Versuch interessieren sich verschiedene Fragestellungen, aus denen ergeben sich entsprechende Verteilungen:
• wie hoch ist dabei eine Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Anzahl an Erfolgen, bei jeweils einer bestimmten Anzahl an Versuchen die Binomialverteilung
• wie lange dauert es dabei bis zu einem ersten Erfolg (beispielsweise bis man dann eine 6 würfelt bei einem Brettspiel)? Die Geometrische Verteilung
• wie hoch ist dabei eine Wahrscheinlichkeit, dass dabei genau eine gewisse Anzahl aus einer Ziehung, also ein Treffer ist? Die Hypergeometrische Verteilung.

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