Binomische Formeln – Beispiele, Erklärung & Online Rechner + Video

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Obwohl die drei binomischen Formeln den Schüler das Leben ein wenig leichter machen sollen, kommt es den meisten Schülern Aber gar nicht so leicht vor. Wenn man es aber verstanden hat, Sind sie tatsächlich eine Erleichterung. Wie werden uns bemühen euch die 3 binomischen Formeln in diesem Text ein wenig näher zu bringen.

Kennt man sich mit der Rechnung mit Klammern aus, muss man die binomischen Formeln eigentlich gar nicht lernen, da sich diese aus den bereits bekannten Rechengesetzen ergeben. Der Grund warum diese Formeln dennoch im Unterricht behandelt werden hat eben den Grund, dass sie einem tatsächlich das Rechnen mit Klammern erleichtern. Über die drei binomischen Formeln kann man den Rechenweg entscheidend verkürzen. Und seit wann will man in der Mathematik einen schweren Weg, als den der tatsächlich nötig ist? Um sich mit dem Thema zu beschäftigen sollte man schon die Grundlagen der Klammerrechnung beherrschen. Kann man sich nicht mehr erinnern, sollte man die Erinnerung noch einmal auffrischen.

Kommen wir nun zur ersten binomischen Formel

Für jeder der Klammern auflösen kann, stellt diese Formel kein Problem dar. Sie scheint eindeutig und logisch.

1. Binomische Formel:

  • ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
  • Herleitung: ( a + b )2 = ( a + b ) · ( a + b ) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2

Wir haben für alle, die sich fragen, woher diese Auflösung kommt, haben wir die Herleitung einmal darunter geschrieben. Jene, welche die erste Binomische Formel logisch erscheint, benötigen lediglich diese Formel. Mit der Herleitung wird schlicht aufgezeigt wie Klammern aufgelöst werden. Hier noch einige weitere Beispiele, die dies hoffentlich noch weiter verdeutlichen:

  • ( 3 + 4 )2 = 32 + 2 · 3 · 4 + 42 = 9 + 24 + 16 = 49
  • ( 1 + 2 )2 =12 + 2 · 1 · 2 + 22 =1 + 4 + 4 = 9

Als Tipp raten wir euch, dass ihr euch die Formeln genau anschaut und euch klar macht, was a und was b ist. Anschließend setzt ihr für a und für b Werte ein. Wenn ihr das dann mit dem vergleicht was wir euch vorgerechnet haben, dann sollte euch ein Licht aufgehen.

Nun befassen wir uns mit der zweiten binomischen Formel

Die zweite Binomische Formel ähnelt sehr der ersten binomischen Formel. Allerdings erkennt man in dieser ein negatives Vorzeichen. Hier also die Formel mit anschließender Herleitung:

2. Binomische Formel:

  • ( a – b )2 = a2 – 2ab + b2
  • Herleitung: ( a – b )2 = ( a – b ) · ( a – b ) = a2 – ab -ba + b2 = a2 – 2ab + b2

Im Grunde genommen geht es hier nur darum zu erkennen, dass dort ein negatives Vorzeichen ist, was man bei der Ausmultiplizierung der Klammer berücksichtigen muss. Im Folgenden bringe ich euch auch hier einige Beispiele, welche euch die Herleitung etwas deutlicher machen soll:

  • ( 4 – 2 )2 = 42 -2 · 4 · 2 + (2)2 =16 – 16 + 4 = 4
  • ( 3 – a )2 = 32 – 2 · 3 · a + a2 = 9 – 6a + a2

Auch hier kann ich nur dazu raten sich die Herleitung genau anzuschauen und zu erkennen was a und was b ist. Auch hier solltet ihr eigene Zahlen einsetzen und euch klar machen, warum man die Klammer so ausmultipliziert wie ich es euch vorgemacht habe.

Und abschließend befassen wir uns mit der dritten binomischen Formel

Die dritte und damit letzte Binomische Formel befasst sich damit, wie man zwei klammern am Besten multiplizieren kann. Diese sieht folgendermaßen aus, samt Herleitung:

3. Binomische Formel:

  • ( a + b ) ( a – b ) = a2 – b2
  • Herleitung: ( a + b ) ( a – b ) = a2 -ab + ba -b2 = a2 – b2

Wenn zwei klammern aufzulösen sind, welche sich lediglich im Vorzeichen unterscheiden, ist diese Formel sehr hilfreich. Hier einige Beispiele mit eingesetzten Werten:

  • ( a + 3 ) ( a – 3 ) = a2 -32 = a2 – 9
  • ( 2 + b ) ( 2 – b ) = 22 – b2 = 4 – b2

Auch hier solltet ihr es mit eigenen Zahlen versuchen, das hebt in der Regel den Schleier vor den Augen.

Viel Erfolg!

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