Differentialrechnung – Regeln, Aufgaben, Beispiele + Video

Der folgende Artikel setzt sich mit der Differenzialrechnung / Differentialrechnung auseinander. Zu Beginn des Artikels soll der Begriff der Steigung erläutert werden, um anschließend auf Regeln einzugehen, die das Ableiten von Funktionen erleichtern sollen.

Die Differenzialrechnung ist ein sehr komplexes Themengebiet der Mathematik. Aus diesem Grund bietet es sich nicht an, in nur einem Artikel auf alle Aspekte ausführlich einzugehen. Dieser Artikel dient lediglich der Erläuterung der Grundlagen aus dem Bereich der Differenzialrechnungen. Um etwas tiefer in die Materie vorzudringen, eignen sich Artikel zu den folgenden Themen.

Themengebiete der Differenzialrechnung

  • Grundlagen der Steigung
  • Summenregel und Faktorregel
  • Quotientenregel und Produktregel
  • Kettenregel
  • Ableitungen in tabellarischer Übersicht
  • Erste und zweite Ableitung
  • Berechnung des Wendepunktes
  • Berechnung des Sattelpunkts
  • Berechnung der Wendetangente

Im Folgenden wird kurz auf die jeweiligen Unterthemen eingegangen. Für detaillierte Informationen zur Differentialrechnung werden Verweise gemacht.

Die Steigung in der Differentialrechnung

Zu Beginn des Themas lohnt sich ein Blick in die Grafik. In ihr ist eine Funktion eingezeichnet. Eine beliebte Aufgabe in Bezug auf Funktionen ist die Bestimmung der Steigung. Den Begriff Steigung kann man sich mathematisch genauso vorstellen, wie man ihn im Alltag verwendet. Etwa, wenn es an einer Straße bergauf geht, wird alltäglich von einer Steigung gesprochen. Dies kann auch mathematisch beschrieben werden.

differentialrechnung

In diesem Beispiel ist die Steigung konstant, sprich an jeder Stelle gleich. Um sie berechnen zu können, bietet es sich an ein Steigungsdreieck einzuzeichnen. Aber Step-by-Step:

  • Man wählt zwei beliebige Punkte auf einer Gerade aus, in diesem Fall Punkt 1: X = 6 und Y = 3 und Punkt 2: X = 2 und Y = 2.
  • Nun bildet man ϪY, indem man den ersten Y-Punkt vom Zweiten subtrahiert (3 -1 = 2).
  • Diesen Vorgang wiederholt man nun für ϪX (6 – 2 = 4)
  • Die Steigung berechnet sich wie folgt: ϪY : ϪX. In diesem Beispiel also 2 : 4 = 0,5.
  • Die Steigung beträgt in diesem Beispiel 0,5.

Da die Steigung in dieser Funktion an allen Stellen identisch ist, ist die Berechnung sehr simpel. Problematischer sind dagegen kurvige Funktionen. Um deren Steigungsverhalten analysieren zu können benötigt man die Differenzialrechnung. Auf diese wird im Folgenden eingegangen.

Faktor- und Potenzregel und Summenregel in Differentialrechnungen

Um Funktionen wie etwa x6, 5x² oder 7x abzuleiten, bieten sich die Faktorregel und die Potenzregel an. Im Allgemeinen ist folgende Gleichung immer gegeben: y = xn. Die erste Ableitung wäre demnach: y‘ = n x Xn-1. Die Anwendung erfolgt allgemein so:

  • Aufschreiben der Funktion y = …
  • Für die Ableitung aufschreiben von y‘ =
  • Einsetzen der Variablen x
  • Exponent um eins verringern
  • Erhalten von einem Faktor

Auch wenn dies erstmal abschreckend und kompliziert klingt, die folgende Tabelle sollte es gut veranschaulichen:

y = f(x) y‘ = f'(x)
x2 2x
x3 3x2
x4 4x3
2x3 2 · 3 · x2 = 6x2
5x6 5 · 6 · x5 = 30x5
14 · x2 14 · 2 · x1 = 28x
4x10 4 · 10 · x9 = 40x9
5x 5 · x0 = 5
5 0

 

Produktregel und Qutientenregel in Differenzialrechnungen

Nachdem die Summen- und die Faktorregel behandelt wurden, folgt nun die Produktregel als ein Bestandteil der Differentialrechnung. Sie wird bei Funktionen in Produktform benötigt. Zuerst soll an dieser Stelle die Formel vorgestellt werden, anschließend wird das Thema mit Beispielen veranschaulicht.
Ausführliche Schreibweise der Produktregel:

  • Y = u(x) x v(x)
  • Y‘ = u‘(x) x v(x) + v‘(x) x u(x)

Und in Kurzschreibweise:

  • Y = u x v
  • Y‘ = u‘ x v + v‘ x u

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