Direkt proportional & Proportionale Funktion – was ist der Unterschied?

Direkt proportional & Proportionale Funktion - was ist der Unterschied

Im Alltag tauchen immer wieder Zusammenhänge zweier Größen auf, die sich mit den Worten “umso mehr…, desto mehr…” beschreiben lassen. Umso mehr Kuchen gebacken wird, desto mehr Zucker wird benötigt. Umso schneller ein Auto fährt, desto mehr Strecke wird in einer Stunde zurückgelegt. In der Mathematik sagt man, dass die beiden Größen über eine Funktion verbunden sind. Wer die zurückgelegte Strecke pro Stunde kennt, der kann sich über eine wie immer geartete Funktionsvorschrift sofort und eindeutig die entsprechende Geschwindigkeit herleiten. Es heißt, dass die Strecke eine Funktion der Geschwindigkeit ist.

Was ist eine proportionale Funktion?

In der Beschreibung “umso mehr…, desto mehr…” steckt aber noch eine Zusatzinformation, die nicht mehr für alle Funktionen gilt, sondern nur für ganz bestimmte. Denn dieser Ausdruck implementiert, dass eine Änderung der einen Größe automatisch die gleiche Änderung bei der anderen bewirkt. Wird die doppelte Menge an Kuchen benötigt, braucht es auch die doppelte Menge an Zucker. In diesem speziellen Fall spricht man von einer proportionalen Funktion.

Bei proportionalen Funktionen stehen die zusammenhängenden Größen immer im gleichen Verhältnis zueinander. Mit der Geschwindigkeit v, der Strecke s und der Zeit t ergibt sich der weitbekannte funktionale Zusammenhang v = s / t oder umgestellt s / v = t. Wird der Fall t = 1 Stunde betrachtet, wird der Quotient s / v in jedem Fall 1 Stunde betragen, ganz egal, wie schnell das Auto war. Beide Größen sind proportional zueinander. Halbiert sich die Geschwindigkeit, halbiert sich automatisch auch die Strecke. Die fixe Größe t heißt dann Proportionalitätskontante.

Was bedeutet direkt proportional?

Ein weiteres Beispiel kennen viele noch aus dem Geometrieunterricht: U = Pi x d. Bei Kreisen ist der Umfang U gleich dem Durchmesser d mal der konstanten Kreiszahl Pi. Auch hier herrscht Proportionalität, denn wird der Umfang verdoppelt, verdoppelt sich auch der Durchmesser. Eine solche Proportionalität, bei der beide Größen immer dasselbe Verhältnis zueinander haben, nennt man “direkte Proportionalität”. Die Merkformel ist “umso mehr…, desto mehr…”. Damit ist “direkt proportional” kein Unterschied zu “proportional”, sondern eine Konkretisierung hiervon.

Direkt proportional können Größen auch in Potenzen zueinander sein. So ist beispielsweise die Fläche eines Kreises direkt proportional zum Quadrat des Radius: A = Pi x r², und auch hier ist Pi die Proportionalitätskonstante. Trägt man in einem Koordinatensystem r² gegen A auf, entsteht eine Gerade, wie sie charakteristisch für eine lineare Funktion ist.

Das Gegenstück: indirekt proportional

Dass “proportional” ein Oberbegriff für “direkt proportional” ist, erkennt man an der Möglichkeit eines “indirekt proportionalen” Zusammenhangs zweiter Größen. In diesem Fall heißt es dann “je mehr…, desto weniger…” und nicht der Quotient, sondern das Produkt ist konstant. Ein Alltagsbeispiel wäre der Bau einer Mauer. Umso mehr Maurer mitarbeiten, desto weniger Zeit vergeht bis zur Fertigstellung. Bei der Autofahrt sind die Geschwindigkeit und die Zeit indirekt proportional zueinander. Die gleiche Strecke wird bei doppelter Geschwindigkeit in der Hälfte der Zeit zurückgelegt. Das Produkt v x t verändert sich nicht, s ist die Proportionalitätskonstante.

Der Graph einer indirekt proportionalen Funktion ist eine Hyperbel, also eine schnell abfallende Kurve. Statt indirekt proportional wird auch reziprok oder antiproportional gesagt. Ist eine Funktion weder direkt noch indirekt proportional, heißt sie nicht-proportional.

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