E-Funktion ableiten – 4 Beispiele & Ableitungsrechner

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Dieser Text beschäftigt sich mit dem Thema „Ableitung eine E – Funktion“. Wir bringen euch hier die Ableitungsregel näher und geben euch eine menge Beispiele, um euch das Verständnis zu erleichtern.

Da unter Anderem in den Internet-Foren diverse unterschiedliche Schreibweisen verwendet werden, so zum Beispiel, Ableitung E 2, Ableitung Hoch x, Ableitung E Funktionen, Ableitung e 2 x und so weiter, werden wir zur besseren Übersicht LaTeX verwenden. Werfen wir also nun ein Auge auf die Kettenregel, welche ihr für die Ableitung einer E-Funktion braucht.

Online Ableitungsrechner

Kettenregel zur Ableitung einer E-Funktion

Nimmt man die bisherigen Ableitungsregeln zur Hilfe, also die Summenregel oder die Faktorregel etc., kann man damit einfache Funktionen ableiten. Es wird jedoch nicht ganz so einfach, wenn wir zusammengesetzte Funktionen oder auch verschachtelte Funktionen ableiten müssen. Eine Funktion, wie beispielsweise y=e^4x, kann man nur mit der Kettenregel ableiten. Hier nutzt man die Substitution. Wie man dies handhabt werden wir euch erklären. Vorab solltet ihr euch allerdings folgenden Merksatz einprägen.

Die Kettenregel: Die Ableitung einer verketteten, also zusammengesetzten Funktion kann man aus dem Produkt der inneren und äußeren Ableitung erhalten.

Zu Beginn fällt es vielen Schülern äußerst schwer mit dieser Regel umzugehen . Der Grund ist, dass man hierfür ein wenig Erfahrung braucht. Hier gilt: Übung macht den Meister! Irgendwann erkennt man wann die Kettenregel angewandt werden muss. Ich stelle euch nun einige Standart-Beispiele vor, in denen man durch die Benutzung der Kettenregel die Ableitung einer E-Funktion gebildet wird. Zuerst zeigen wir euch den Rechenweg und die folgende Erklärung.

Erstes Beispiel: y = e^x

Da die Ableitung von e^x, e^x ist, ist das einfach zu merken. Die Kettenregel müssen wir hier nicht anwenden.

Zweites Beispiel: y = e^2x

Die Substitution: u = 2x
Die äußere Funktion = e^u
Die äußere Ableitung = e^^u
Die innere Funktion = 2x
Die innere Ableitung = 2
y‘ = e^u * 2
y‘ = e^2x * 2

Hier substituiert man den Exponenten der E-Funktion. Dann wieder die äußere Funktion und auch die innere Funktion ermittelt und diese leitet man dann ab. Anschließend bildet man dann das Produkt aus der inneren und der äußeren Ableitung worauf dann die Rücksubstitution folgt.

Drittes Beispiel: y = e4x + 2

Die Substitution: u = 4x + 2
Die äußere Funktion = e^u
Die äußere Ableitung = e^u
Die innere Funktion = 4x + 2
Die innere Ableitung = 4
y‘ = e^u * 4
y‘ = e^(4x+2) * 4

Hier wird dann der Exponent substituiert. Folgend muss man wieder die inneren und äußeren Funktionen ermitteln und ableiten. Bzw. die Funktion. Und auch hier bildet man dann das Produkt aus der inneren und äußeren Ableitung, um dann anschließend mit der Rücksubstitution abzuschließen.

Beispiel 4: y = e^x * x^5

y‘ = e^x * x^5 + 5x^4 * e^x

Diese Funktion wird mit der Produkt- und der Kettenregel abgeleitet!

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