Gegenereignis in Statistik leicht erklärt + Beispiel

Ein Gegenereignis

Oft ist es viel einfacher oder auch erforderlich, nicht mit dem Ereignis oder deren Wahrscheinlichkeit zu rechnen. Manchmal ist es besser mit dem Gegenereignis oder einer Gegenwahrscheinlichkeit zu rechnen.
Wenn das Ereignis, wo eine 6 beim einmaligen beim würfeln kommt, so ist die Wahrscheinlichkeit 1/6, das Gegenereignis dazu ist die Menge der Zahlen 1 bis 5 und die Gegenwahrscheinlichkeit dazu: 1 – 1/6 = 5/6.
Wird bei einer Wahrscheinlichkeit für gefragt: „wie hoch ist eine Wahrscheinlichkeit, dass bei einem 5-maligen Würf mindestens einmal eine Sechs gewürfelt wird?“ Dies ist umständlich, eine Wahrscheinlichkeit, für 1x die Sechs, 2x die Sechs, … oder 5 x die Sechs zu berechnen und alles aufzuaddieren. Kürzer rechnet man über eine Gegenwahrscheinlichkeit, dabei wird keine Sechs gewürfelt: 1 – (5/6)5 = 1 – 0,40188 = 0,598 (also ca. 59,8 %, dass eine Sechs gewürfelt wird.

Ein Beispiel für ein Gegenereignis

Bei einer Produktion von einem Produkt werden 3 Arbeitsplätze A, B und auch C (beispielsweise, Fräsen, Drehen, Bohren) durchlaufen. Für diese 3 Arbeitsplätze werden folgende Wahrscheinlichkeiten für einen Produktionsfehler bestimmt: 0,1 also 10 % (beim Arbeitsplatz A), 0,2 also 20 % (beim Arbeitsplatz B) und 0,3 als0 30 % (Beim Arbeitsplatz C).

Wie hoch ist dann eine Wahrscheinlichkeit, dass ein Produkt ohne jegliche Produktionsfehler dabei herauskommt?
Über ein jeweiliges Gegenereignis und die dazugehörigen Gegenwahrscheinlichkeiten können dafür die Wahrscheinlichkeiten errechnet werden:
0,9 × 0,8 × 0,7 = 0,504 ist eine Wahrscheinlichkeit für eine gänzlich fehlerfreie Produktion also 50,4 %.
Dabei ist nun die 0,9 eine Gegenwahrscheinlichkeit dazu, dass ein Fehler auf Arbeitsplatz A auftritt oder auch anders gesagt eine Wahrscheinlichkeit dafür, dass eben kein Produktionsfehler auf Arbeitsplatz A auftritt. 0,8 und auch 0,7 sind entsprechend die Gegenwahrscheinlichkeiten für Fehler auf den Arbeitsplätzen B und auch C.

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Die Kontrollrechnung

Von nun 1.000 Produkten gibt der Arbeitsplatz A 90 %, also 900 fehlerfrei weiter und davon sind 100 fehlerbehaftet, davon wiederum werden 20 %, also 180 Stück auf Arbeitsplatz B mit einem Fehler versehen, so dass nun nur noch 720 fehlerfreie Stücke an Arbeitsplatz C gelangen werden und dieser Arbeitsplatz C sorgt für 30 % von 720, also 216 fehlerhafte Stücke, so dass nun nur noch 504 fehlerfreie Produkte am Ende der Produktion übrig bleiben.

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