Hypergeometrische Verteilung berechnen – Formel, Beispiele & Video

In dem Artikel geht es darum, wie man die Hypergeometrische Verteilung berechnet. Falls ihr damit also Probleme habt, solltet ihr unbedingt weiter lesen.

Als aller erstes solltest du natürlich wissen, was eine hypergeometrische Verteilung überhaupt ist. Damit du das verstehst gibt es später dazu noch ein Beispiel, zur Verdeutlichung.

Ich erkläre euch das mal anhand einer Situation.

Zum Beispiel sind in einer Urne N Objekte enthalten und davon haben K Objekte eine bestimmte Eigenschaft. Dementsprechend haben die anderen Objekte diese Eigenschaft nicht. Wenn man jetzt aus einer Urne N Objekte entnimmst ohne das man sie wieder zurück legst, dann sind die einzelnen Entnahmen nicht unabhängig.

Fragestellung:

z.B.: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass von drei gezogenen Kugeln von insgesamt 10 Kugeln (davon sind 20% schwarz und 80% der Kugeln weiß) schwarz sind.

wie du das genau berechnet siehst du hier:

hypergeometrische-verteilung1

Beispiel

Bei dem Beispiel sind in einer Urne 10 Kugeln (N = 10) enthalten. Davon sind 6 Kugeln rot (K = 6) und 4 Kugeln weiß. Jetzt sollst du 4 Kugeln entnehmen ohne sie dabei wieder zurückzulegen. Du sollst du herausfinden, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, das gleich 2 rote Kugeln vorhanden sind,

Die Formel und die Berechnung siehst du hier:

hypergeometrische-verteilung2

So macht man es mit der Berechnung eines Binomialkoeffizienten

hypergeometrische-verteilung3

Danach ergibt sich:

hypergeometrische-verteilung4

Beispiel Motor:

Es werden zehn Motoren der gleichen Art zu Inventurzwecken gezählt. Bei den letzten Inventuren waren meist zwei Motoren von den 10 Motoren defekt. Das heißt 20% der Motoren. Es werden vom Inventurleiter zufallsweise drei Motoren entnommen, um diese zu prüfen. Nun stellt sich die Frage, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass genau ein Motor von diesen drei Motoren defekt ist.

Die hypergeometrische Wahrscheinlichkeit ist:

{ { 2! / [ 1! × (2 – 1)! ] } × { (10 – 2)! / [ 2! × (8 – 2)! ] } } / { 10! / [ 3! × (10 – 3)! ] }
= { { 2! / [ 1! × 1! ] } × { 8! / [ 2! × 6! ] } } / { 10! / [ 3! × 7! ] }
= [ 2 × (40.320 / 1.440) ] / (3.628.800 / 30.240)
= 56 / 120 = 0,467 (d.h. ca. 46,7 %).

Hierbei ist das ! das Zeichen für die Fakultät, zwei die Zahl für die Anzahl der kaputten Motoren, drei ist der Umfang der Stichprobe und 1 ist die Anzahl der kaputten Motoren für die die Wahrscheinlichkeit gesucht wird.

Beispiel „Drei Richtige“:

Mit Hilfe der hypergeometrischen Wahrscheinlichkeit lässt sich ebenfalls die Wahrscheinlichkeit für drei Richtige beim Lotto „6 aus 49“ ausrechnen. Das heißt, dass es 49 Kugeln gibt von denen 43 Kugeln die falsche Zahl haben und 6 Kugeln die richtige Zahl haben. Hierbei beinhaltet die Stichprobe 6 Ziehungen und ist ohne Zurücklegen.
„drei richtige“ bedeutet dann weiter, dass man aus den sechs gezogenen Kugeln drei richtige Zahlen haben muss. Das heißt man zieht aus den sechs gezogenen Kugeln drei richtige und aus den 43 „falschen Kugeln“ zieht man ebenfalls drei.
Der Binomnialkoeffizient wird mit B (n über k) abgekürzt und die Formel hierzu lautet: B (6 über 3) × B (43 über 3) ] / B (49 über 6) = (20 × 12.341) / 13.983.816
= 246.820 / 13.983.816 = 0,0177. Das heißt die Wahrscheinlichkeit, dass man drei richtige Zahlen auswählt bei Lotto „6 aus 49“ liegt bei 1,77%.

Hat Wirtschaftswissenschaften an der Universität Kassel studiert.
Einzelunternehmer seit Mai 2006 & Chefredakteur von Uni-24.de
Geschäftsführer der Immocado UG (haftungsbeschränkt)

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