Hypothesentest in Statistik leicht erklärt + Beispiel

Grundlagen des Hypothesentests

Bei einer Hypothese handelt es sich um eine Vermutung bzw. Annahme bzgl. eines bestimmten quantifizierbaren Sachverhalts bzw. Parameter einer Grundgesamtheit. Ein Beispiel dafür wäre die Hypothese: 10 % der Wähler sind Raucher. Mit Hilfe des Hypothesentests soll die Annahme auf Basis einer Stichprobe entweder bestätigt oder widerlegt werden. Eine Bestätigung der Hypothese ist kein Beweis für die Richtigkeit der Annahme. Jedoch ist dadurch eine erhöhte Wahrscheinlichkeit gegeben.

Folgendes Beispiel verdeutlicht den Hypothesentest:

Ein Schiedsrichter übt vor dem Spielanpfiff den Münzwurf und nimmt die Vermutung an, dass die Kopf-Seite deutlich häufiger auftritt als die Zahl-Seite. Aus diesem Grund führt er, zur statistischen Untersuchung, eine Stichprobe von 10 Würfen durch und stellt dabei folgende Hypothese auf:

  • sog. Nullhypothese: Wahrscheinlichkeit für Kopf = 0,5 bzw. 50 % (das wäre eine korrekte, faire Münze);
  • sog. Alternativhypothese: Wahrscheinlichkeit für Kopf ungleich 0,5 bzw. 50 % (dann wäre die Münze nicht in Ordnung bzw. „defekt“).

Weiterhin bestimmt er ein Signifikanzniveau von 5 %. Der Schiedsrichter wirft nun die Münze insgesamt 10 Mal, wobei 100, 1.000 oder sogar noch mehr Würfe eine höhere Genauigkeit aufweisen würden. Daraus resultiert, 7 mal Kopf, wobei 5 mal Kopf das zu erwartende Ergebnis wäre.

Handelt sich dabei um eine „defekte“ Münze oder lediglich um eine zufällige Abweichung?

In der folgenden Tabelle sind die mit der Formel für die Binomialverteilung berechneten Wahrscheinlichkeiten für 0 mal Kopf, 1 mal Kopf etc. und die kumulierten Wahrscheinlichkeiten (z.B. maximal 1 mal Kopf ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten für 0 mal Kopf und 1 mal Kopf) dargestellt.

Wahrscheinlichkeiten und kumulierte Wahrscheinlichkeiten
Wahrscheinlichkeit kumulierte Wahrscheinlichkeit
0 mal Kopf 0,0009765625 0,0009765625
1 mal Kopf 0,009765625 0,0107421875
2 mal Kopf 0,0439453125 0,0546875
3 mal Kopf 0,1171875 0,171875
4 mal Kopf 0,205078125 0,376953125
5 mal Kopf 0,24609375 0,623046875
6 mal Kopf 0,205078125 0,828125
7 mal Kopf 0,1171875 0,9453125
8 mal Kopf 0,0439453125 0,9892578125
9 mal Kopf 0,009765625 0,9990234375
10 mal Kopf 0,0009765625 1

Beispiel: die Wahrscheinlichkeit, bei 10 Münzwürfen 2 mal Kopf zu erhalten ist 0,0439453125, also ca. 4,4 %; die Wahrscheinlichkeit, bei 10 Würfen maximal 2 mal Kopf zu erhalten ist 0,0546875 bzw. ca. 5,5 % (die aufaddierte Wahrscheinlichkeit für 0 mal Kopf, 1 mal Kopf und 2 mal Kopf).

Ablehnungsbereich

Für die Nullhypothese gibt es nun einen sog. Ablehnungsbereich, dieser gibt die Häufigkeiten von Kopf an, die sehr unwahrscheinlich sind. Er hängt dabei der von der Höhe des Signifikanzniveaus abhängt.

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Die Wahrscheinlichkeit, dass zwischen 2 und 8 mal Kopf erscheint, beträgt somit 0,978515625 bzw. gerundet 97,9 % (Summe der jeweiligen Wahrscheinlichkeiten oder kürzer: kumulierte Wahrscheinlichkeit für 8 mal Kopf minus kumulierte Wahrscheinlichkeit für 1 mal Kopf = 0,9892578125 – 0,0107421875 = 0,978515625). Die Wahrscheinlichkeit, dass 0 mal, 1 mal, 9 mal oder 10 mal Kopf kommt, entspricht somit dem Rest, d.h. ca. 2,1 %, was als sehr unwahrscheinlich einzustufen ist.

In diesem Fall würde der Schiedsrichter die Nullhypothese („Münze ist fair“) ablehnen. Jedoch erschien 7 mal Kopf, was sich im 97,9 % – Intervall befindet. Somit wird die Nullhypothese nicht abgelehnt und er wird die Münze als fair betrachten und damit im Spiel nutzen kann.

Der Ablehnungsbereich umfasst also 0, 1, 9 und 10 mal Kopf, der sog. Annahmebereich (bei dem die Nullhypothese angenommen wird) umfasst 2 bis 8 mal Kopf.
Wäre z.B. 9 mal oder 10 mal Kopf gekommen, hätte der Schiedsrichter die Nullhypothese abgelehnt und die Münze für „defekt“ erklärt.

Der Tabelle ist zu entnehmen, dass 9 mal Kopf oder 10 mal Kopf mit 0,009765625 + 0,0009765625 = 0,010742187, also rund 1,1 % sehr unwahrscheinlich ist, aber noch im Bereich des Möglichen. Jedoch kann man sich bei diesem Ergebnis nicht absolut sicher sein, dass die Nullhypothese (Münze ist fair) nicht doch stimmt. Zumindest ist die Wahrscheinlichkeit mit über 95 % sehr hoch.

In dem Beispiel handelt es sich um einen sog. zweiseitigen Hypothesentest: wir interessieren uns sowohl dafür, dass zu wenig häufig Kopf kommt als auch dafür, dass zu oft Kopf kommt (die Münze soll fair sein). In anderen Fällen kann die Fragestellung so gewählt sein, dass uns nur eine Option interessiert, also ob etwas zu klein, zu jung, zu groß, zu wenig, zu alt, zu teuer, zu günstig ist. Dann handelt es sich, um einen einseitigen Hypothesentest.

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