In wenigen Schritten Matrizen multiplizieren – Regeln, Beispiele + Video

Wie werden Matrizen mit einem Skalar multipliziert? Wie funktioniert die Multiplikation zweier Matrizen miteinander? Diese Fragen sollen im folgenden Artikel beantwortet werden. Zum Abschluss wird noch kurz auf das Falk-Schema eingegangen.

Um noch einmal die Grundlagen von Matrizen zu wiederholen und zu klären was diese überhaupt sind oder wie Matrizen miteinander addiert oder subtrahiert werden, seien folgende Artikel empfohlen:

  • Matrix und Matrizen: Grundlagen
  • Matrix: Addition und Subtraktion

Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar

Bei der Multiplikation von Skalar und Matrix gilt folgende Grundregel: Eine Matrix multipliziert man mit einem Skalar, indem man jedes Element der Matrix mit dem Skalar multipliziert.
in den folgenden beiden Beispielen soll dies etwas anschaulicher gezeigt werden. Hierbei wird eine Matrix A mit einer Zahl multipliziert. Dabei entstehen die Matrizen B und C.

matrizen-multiplizieren-beispiel

Multiplikation von Matrizen

Nachdem wir uns zuerst die recht einfache Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar angesehen haben, betrachten wir nun die Multiplikation einer Matrix mit einer anderen etwa genauer. Dabei soll hier gelten: Die Matrix C entsteht durch die Multiplikation der Matrix A mit der Matrix B (C = A*B). Damit Matrizen miteinander multiplizieren werden können, muss die Spaltenzahl der ersten Matrix mit der Zeilenzahl der zweiten Matrix übereinstimmen. Das Ergebnis einer Matrizenmultiplikation wird dann Matrizenprodukt, Matrixprodukt genannt. Das Matrizenprodukt ist wieder eine Matrix. Ihre Einträge werden durch komponentenweise Multiplikation und Addition der Einträge der entsprechenden Zeile der ersten Matrix mit der entsprechenden Spalte der zweiten Matrix ermittelt.

Dies klingt zunächst recht kompliziert, aber durch das Falk-Schema wird das ganze leicht verständlich. Anhand des folgenden Beispiels soll dies näher betrachtet werden.

Gegeben sind unsere beiden Matrizen A und B:

matrizen-beispiel-2

Für die Multiplikation wenden wir das Falk-Schema an und notieren die Matrizen wie folgt:

falkschema

Das Ergebnis der Multiplikation sieht wie folgt aus:

falkschema2

Hier nun einmal die Berechnung in den einzelnen Schritten:

  • 4 · 1 + 2 · 0 + 1 · 2 = 6
  • 4 · 2 + 2 · 4 + 1 · (-1) = 15
  • 4 · 3 + 2 · 6 + 1 · 8 = 32
  • 0 · 1 + (-2) · 0 + 4 · 2 = 8
  • 0 · 2 + (-2) · 4 + 4 · (-1) = -12
  • 0 · 3 + (-2) · 6 + 4 · 8 = 20

Da bei der Berechnung oft sehr viele Fehler passieren ist genaue Sorgfalt wichtig.
Die Multiplikation und die Addition müssen gründlich durchgeführt und die Vorzeichen genau beachtet werden. Werden die Matrizen A und B miteinander vertauscht, so ist die Multiplikation nicht mehr möglich.

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