Kathetensatz / Höhensatz des Euklid – Formel, Beispiele + Video

Im Folgenden beschäftigen wir uns ausführlicher mit dem Katheten- und dem Höhensatz von Euklid. Beide sind hilfreich, wenn es darum geht, verschiedene Parameter wie Höhe und Seitenlängen eines Dreiecks zu berechnen.
Den Anfang macht der Kathetensatz. Zuerst gehen wir darauf ein, was dieser überhaupt aussagt und anschließend verdeutlichen wir das Ganze an einem einfachen Beispiel.

Auch beim Höhensatz, auf den wir danach eingehen, verfahren wir nach dem gleichen Muster.
Bevor ihr euch jedoch diesen Artikel durchlest, macht euch noch einmal klar, wie man im Allgemeinen Gleichungen löst und mit Variablen umgeht.

Der Kathetensatz des Euklid

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In der obigen Grafik seht ihr ein Dreieck, welches in zwei kleinere Dreiecke aufgespalten wurde. Dabei besitzt das große ursprüngliche Dreieck einen rechten Winkel am Punkt C und die beiden kleinen jeweils einen am Punkt S.
Die Punkte A, B, C und S bezeichnen die Ecken der verschiedenen Dreiecke und die Geraden zwischen diesen Punkten sind durch a, b, c, p, und q gegeben.
Wie man leicht sieht, gilt c = p+q.
Der Kathetensatz des Euklid gibt nun an, wie man weitere Seitenlängen errechnen kann, wenn bereits c und p oder auch c und q bekannt sind. Und zwar gilt:

a² = p*c
b² = q*c

(Natürlich kann man dieses Verfahren auch umgekehrt anwenden, wenn zum Beispiel a und p bekannt sind und man c errechnen will.)

Kleines Beispiel

Um ein Gestell zu konstruieren, sind die Seitenlängen eines Dreiecks gesucht. Dabei ist bekannt, dass c = 5cm und p = 2cm ist. Herauszufinden sind also noch die Werte für a und b.
Dafür gehen wir wie folgt vor. Zuerst berechnen wir q = c-p = 5cm-2cm = 3cm. Damit lassen sich nun leicht a und b berechnen, da nach dem Kathetensatz gilt a² = p*c = 2cm*5cm = 10cm² und b² = q*c = 3cm*5cm 15cm². Schließlich liefert Wurzelziehen a = 3,16cm und b =3,87cm.

Der Höhensatz des Euklid

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Neben den Bezeichnungen aus dem ersten Bild, findet ihr in der neuen Grafik nun auch noch ein h, welches die Höhe des Dreiecks bezeichnet.
Wie man diese Höhe berechnen kann, erklärt der Höhensatz des Euklid. Es gilt nämlich:

h² = p*q

Noch ein Beispiel

Auch hier sei wieder p = 2cm und q = 3cm bekannt. Diesmal sind allerdings nicht die Seitenlängen des Dreiecks gesucht, sondern die Höhe h.
Um h zu ermitteln verfahren wir folgendermaßen: Einsetzen von den bekannten Werten liefert h² = p*q = 2cm*3cm = 6cm² und somit durch Wurzelziehen h = 2,45cm.

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