Lagrange Methode Formel, Beispiel & Erklärung – so gehts

Die Lagrange-Methode ist ein Verfahren zur Optimierung einer Zielfunktion unter einer Nebenbedingung. In dem folgenden Bespiel wird eine Nutzenfunktion unter einer Budgetrestriktion optimiert.  Die Frage lautet: 

Beispiel: Welcher Konsumbündel ist unter gegebener Budgerestriktion optimal?

Die Nutzenfunktion lautet:
U = x² * y

Die Budgetrestriktion lautet:

100 = x + y

0 = x + y – 100

Die Lagrangefunktion lautet also:

L = x² * y – λ * (x + y – 100)

Man bildet zunächst die 3 partiellen Ableitungen und setzt diese gleich 0:

∂L / ∂x = 2xy – λ = 0

∂L / ∂y = x² – λ = 0

∂L / ∂λ = -x – y + 100 = 0

Anschließend löst man die ersten beiden partiellen Ableitungen nach einer Variablen auf, dazu kann man zum Beispiel das Gleichsetzungsverfahren, Einsetzungsverfahren oder das Additionsverfahren verwenden.

2xy – λ = 0                             x² – λ = 0

2xy = λ                                   x² = λ

Wir schreiben als Bruch:

2xy = λ

x²      λ

Daraus folgt:

2y = 1

x      1

Also:

2y = x

Dies entspricht dem optimalen Verhältnis der Güter. Dieses Ergebnis wird in die 3. partielle Ableitung eingesetzt.

-(2y) – y + 100 = 0

-3y = -100

y = 100/3

Von Gut y werden 100/3 Einheiten konsumiert. Das setzen wir in 2y = x ein, so dass

2 * 100/3 = x

200/3 = x

Von Gut x werden 200/3 Einheiten konsumiert. Das optimale Güterbündel liegt also bei 200/3 für x und 100/3 für y. Dazu kann folgende Skizze hilfreich sein:

Lagrange Skizze Lagrange Methode Formel, Beispiel & Erklärung - so gehts

 

Automatischer Lagrange Rechner