Leiterwiderstand berechnen – Anleitung, Tipps & Beispiel

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Der Gesamtwiderstand in einem Stromkreis ergibt sich nicht nur aus der Summe sämtlicher darin integrierter Verbraucher. Auch deren Verbindung, meistens über einen Draht, stellt einen ohmschen Widerstand dar, der bei großen Leitungslängen und kleinem Drahtquerschnitt nicht vernachlässigbar ist.

Die meisten Kabelverbindungen, die wir in der alltäglichen Praxis benutzen, sind aus Kupfer beziehungsweise Kupferlitze gefertigt, weil Kupfer einen besonders geringen ohmschen Widerstand aufweist, was bedeutet, dass im Stromkreis kaum Energie über eine Wärmeentwicklung in der Leitung verloren geht. Aber selbstverständlich ist dies alles nicht. Stromleiter können ebenso gut aus Silber- oder Eisendraht hergestellt werden, doch jedes Material hat seinen eigenen „spezifischen elektrischen Widerstand“.

Der spezifische Widerstand

Hierbei handelt es sich um eine temperaturabhängige Materialkonstante, also ein Parameter, der eine physikalische Eigenschaft eines Materials beschreibt. Meistens wird dafür das Formelzeichen ρ (Rho) verwendet. Der spezifische Widerstand ist per Definition eine Maßzahl für den elektrischen Widerstand eines Leiters von genau einem Meter Länge und einer Querschnittsfläche von einem Quadratmillimeter. Eine „normale“ Zimmertemperatur um 20 Grad Celsius wird dabei vorausgesetzt.

R = ρ · l / A

R: Ohmscher Widerstand der Leitung in Ω
ρ: Spezifischer Widerstand des Leitermaterials in Ω·m
l: Gesamtlänge der Leitung in m
A: Querschnittsfläche des Drahtes in Quadratmillimeter

Die Gleichung zeigt ganz klar, dass der Widerstand R mit zunehmendem Drahtquerschnitt (Fläche A) immer kleiner wird. Warum ist das so? Man darf es sich so vorstellen, dass die freien Leitungselektronen im Draht etwas Platz brauchen, um sich bei ihrer Strömung nicht gegenseitig zu behindern. Physiker sprechen in diesem Zusammenhang von der mittleren freien Weglänge.

Plausibilität:
Wenn sich eine große Menschenmenge durch eine sehr enge Tür drängt, geht es nur sehr langsam voran und es entsteht zuweilen etwas Reibungswärme. Wird das Tor aber viel weiter geöffnet, stellt es kaum noch einen nennenswerten Widerstand dar und die Massen strömen recht ungehindert rein und raus.

Hinweis zu den physikalischen Dimensionen:

Bei der Division der Leitungslänge l durch die Querschnittsfläche A ergibt sich der Quotient Meter durch Quadratmillimeter. Letzterer ist bekanntlich ein millionstel Quadratmeter. Insofern liefert der Ausdruck l/A den Beitrag 1.000.000/m in obiger Gleichung. Stellt man die Gleichung zu einer Bestimmungsgleichung für ρ um, ergibt sich die Dimension Ω·m.

Die Querschnittsfläche A des runden Drahtes ergibt sich aus 1/4·π·Drahtdurchmesser zum Quadrat.

Rechenbeispiel

Wir betrachten einen Kupferleiter von insgesamt 100 Meter Länge. Der Durchmesser des Drahtes beträgt 0,5 Millimeter. Der spezifische Widerstand von Kupfer ist sehr klein und beträgt nur 1,7·10 hoch -8 Ω·m. Die Querschnittsfläche A des Drahtes beträgt knapp 2·10 hoch -7 Quadratmeter. Wenn wir diese Werte in die obige Bestimmungsgleichung für den Leitungswiderstand R einsetzen, erhalten wir:

R = 1,7·10(hoch-8)Ω·m · 100 m / 2·10(hoch-7)m·m

R = 8,5 Ω

Die Meter-Dimensionen kürzen sich aus der Gleichung vollständig heraus, sodass, wie zu erwarten, nur noch Ohm übrig bleibt. Von den Zehnerpotenzen bleibt nur noch der Faktor 0,1 erhalten. Der 100 Meter lange Kupferdraht hat also einen ohmschen Widerstand von 8,5 Ohm.

Der Kehrwert des spezifischen Widerstandes wird übrigens als elektrische Leitfähigkeit bezeichnet. Die physikalische Dimension 1/Ω wird als ein Siemens bezeichnet.

Der spezifische Widerstand als Materialeigenschaft

Wie oben erwähnt verfügen die verschiedenen Materialien über ihre ganz individuellen spezifischen Widerstände. Die folgende Tabelle weist dazu ein paar Beispiele aus. Die Maßeinheit ist hierbei jeweils in millionstel Ohmmeter angegeben:

  • Aluminium – 0,0265
  • Blei – 0,208
  • Chromnickel – 1,1
  • Edelstahl (V2A) – 0,72
  • Eisen – 0,125 (durchschnittlich)
  • Gold – 0,022
  • Grafit – 8
  • Zehnprozentige Kochsalzlösung – 79.000
  • Reiner Kohlenstoff – 35
  • Konstantan – 0,5
  • Kupfer – 0,017
  • Zehnprozentige Kupfersulfatlösung – 300.000
  • Messing – 0,07
  • Nickel – 0,069
  • Platin – 0,105
  • Quecksilber – 0,95 (temperaturabhängig)
  • Zehnprozentige Salzsäure – 15.000
  • Zehnprozentige Schwefelsäure – 25.000
  • Silber – 0,016
  • Stahl – 0,15 (durchschnittlich)
  • Titan – 0,8
  • Leitungswasser – 20.000.000
  • Meerwasser – 500.000
  • Wolfram – 0,053
  • Zinn – 0,109

Auch Gesteine und Böden weisen typische Bereiche des spezifischen Widerstandes auf, je nach mineralischer Zusammensetzung, Kompaktion, Porosität und Feuchtegehalt. Insofern ließe sich die obige Tabelle noch beliebig erweitern. Geologiestudenten in den ersten Semestern sind oft darüber erstaunt, dass sich kiesig-sandige Aquifere, die von sehr sauberem Grundwasser durchströmt werden, meistens durch einen deutlich höheren spezifischen Widerstand (um 500 Ohmmeter) auszeichnen gegenüber den liegenden oder hangenden Stauern aus Mergel, Lehm oder Ton (um 20 Ohmmeter).

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