Lineare Abhängigkeit von 2 & 3 Vektoren prüfen – Beispiele, Formeln & Video

Diesmal befassen wir uns mit dem Thema „Lineare Abhängigkeit von Vektoren“. Anhand einiger Beispiele möchten wir euch zeigen, was genau man darunter zu verstehen hat.

Zwei Vektoren prüfen anhand linearer Abhängigkeit

Die erste Frage die wir uns stellen ist: Wieso prüfen wir überhaupt zwei Vektoren anhand linearer Abhängigkeit?

Die Antwort ist einfach: Wir prüfen zwei Vektoren anhand linearer Abhängigkeit dann, wenn zwei Geraden genau parallel zueinander stehen. Das ist dann der Fall, wenn die zugehörigen Richtungsvektoren genau gerade abhängig sind.

Diese Untersuchung ist also hilfreich, um herauszufinden, ob zwei Vektoren sich parallel zueinander verhalten.

Vektoren in einer Ebene:

Vektoren oder auch Geraden genannt, erkennt man ganz leicht daran, dass zwei Zahlen genau „übereinander“stehen. Geprüft werde sollen sie darauf, ob eine lineare Abhängigkeit besteht oder nicht.

Beispiel 1

Im Beispiel 1 erkennen wir, das wir zwei Vektoren haben. Diese sollen darauf geprüft werden, ob sie linear abhängig sind. Zuerst untersuchen wir deshalb ob in diesem Beispiel ein skalares Vielfaches zu finden ist. Um dies herauszufinden wird ein lineares Gleichungssystem aufgestellt. Nach der Auflösung der Variablen finden wir anhand des Ergebnisses heraus, ob dies der Fall ist. Bestätigt es sich, sind die Vektoren linear abhängig.

Wir sehen das k= -0,5 ergibt und das bedeutet, dass beide Gleichungen erfüllt worden.

Beispiel 2:

In Beispiel 2 werden ebenfalls zwei Vektoren auf lineare Abhängigkeit überprüft. Das Ergebnis k=1/3 zeigt, dass diese parallel sind.

Beispiel 3:

Auch hier werden zwei Vektoren miteinander verglichen. Diesmal lässt sich aber kein geeignetes k finden. Diese Gleichung wird also nicht erfüllt. Die Vektoren verhalten sich nicht parallel zueinander.

Beispiel 4:

In diesem Beispiel vergleichen wir zwei Geraden miteinander. Auch dabei nehmen wir uns die beiden Vektorenzur Hilfe. Wir überprüfen ob ein skalares Vielfaches vorliegt.

Da k= 1/3 entspricht sehen wir, dass die beide Geraden parallel sind, also ist es in diesem Beispiel der Fall.

Vektoren in einem Raum:

Nun betrachten wir zwei Vektoren die in einem Raum stehen. Ein Erkennungsmerkmal dafür ist, das insgesamt drei Zahlen „übereinander“ stehen. Auch hier soll natürlich geprüft werden, ob diese linear abhängig voneinander sind oder ob dies nicht der Fall ist.

Um dies zu überprüfen, stellen wir auch diesmal ein lineares Gleichungssystem auf. Insgesamt ergibt dies 3 Gleichungen, wo jede 1 Variable besitzt.

In jeder Gleichung ist k= -0,5. Das bedeutet, dass die Vektoren linear voneinander abhängig und parallel sind.

Drei Vektoren prüfen anhand linearer Abhängigkeit

Sehen wir uns nun anhand eines Beispiels noch an wie das Ganze mit drei Vektoren aussieht.

Dabei ist wichtig:

Ergibt die Gleichung, dass D (Determinante) = 0 ist, bedeutet dies das eine lineare Abhängigkeit vorliegt.

Somit sind die Vektoren komplanar, sie liegen also in einer gemeinsamen Ebene.

Im Beispiel ergibt D=-10. Das heißt, dass keine lineare Abhängigkeit vorliegt. Die Vektoren verhalten sich unabhängig voneinander.

Ein kleiner Hinweis noch am Schluss:

Die hier gezeigten Möglichkeiten lineare Abhängigkeit zu überprüfen, sind nicht die einzigen.

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