Lineare Gleichungssysteme – leichte Erklärung, Beispiele, Tipps & Video

Wenn ihr euch auch exakt diese Frage schon einmal stirnrunzelnd gestellt habt, dann seid ihr hier genau richtig. Denn: In diesem Abschnitt erfahrt ihr alles, was ihr wissen müsst, um die zuerst so knifflig erscheinenden linearen Gleichungssysteme mit mehr als einer Variablen zu lösen. Dabei erklären wir euch zunächst, was überhaupt lineare Gleichungssysteme sind, ehe wir detailliert erläutern, wie man diese problemfrei löst. Du wirst sehen: Es ist gar nicht so schwer!

Ehe ihr euch aber direkt auf das Lösen von Gleichungssystemen stürzt, muss ein Punkt auf euer Checkliste abgehakt sein: Das Lösen von Gleichungen mit einer Unbekannten (Beispiel: 4x + 2 = 4), sollte keinerlei Probleme mehr bereiten. Noch nicht ganz fest im Sattel? Dann schaut euch unbedingt noch einmal unser Kapitel Gleichungen mit einer Unbekannten lösen an. Den Link dazu findet ihr direkt unter diesem Absatz. Fit genug? Dann könnt ihr direkt mit linearen Gleichungssystemen loslegen.

Gleichungen mit einer Unbekannten lösen

Video zum Thema lineare Gleichungssysteme:

Was sind Gleichungssysteme mit 2 Variablen?

Was man unter einem linearen Gleichungssystem mit zwei Variablen versteht, kann man gut mit folgendem Beispiel verdeutlichen: Ihr geht in einem teuren Supermarkt einkaufen. Ihr wisst, dass 6 Äpfel und 12 Birnen zusammen 30 Euro kosten. Ebenso wisst ihr, dass 3 Äpfel und 3 Birnen zusammen 9 Euro kosten. Was kostet nun aber ein Apfel oder eine Birne? Da wir in der Mathematik natürlich nicht mit Obst rechnen, setzen wir „x“ für den Preis eines Apfels und „y“ für den Preis einer Birne ein.
Übersetzen wir also die Angaben im Text mathematisch, ergeben sich die folgenden Gleichungen:

6 Äpfel und 12 Birnen kosten 30 Euro
6 x + 12 y = 30

3 Äpfel und 3 Birnen kosten 9 Euro
3 x + 3 y = 9

Unübersichtlich, oder? Sieht wohl jeder so. Deswegen führte man in der Mathematik folgende Schreibweise ein:

| 6x + 12y = 30 | Gleichung Nr. 1
| 3x + 3y = 9 | Gleichung Nr. 2

Das Entscheidende bei so einem Gleichungssystem ist, für x und y jeweils eine Zahl zu erhalten, die beide Gleichungen erfüllt. Wie das geht? Here it comes!

Gleichungssysteme mit 2 Variablen lösen: Das Einsetzungsverfahren

Viele Mathematiker haben sich bereits mit dem Lösen von Gleichungssystemen befasst. Wir stellen euch hier die zwei bekanntesten Verfahren vor: (1) Das Einsetzungsverfahren und (2) das Gauß-Eliminationsverfahren.

Beginnen wir mit dem Einsetzungsverfahren, welches wunderbar bei 2 Variablen in 2 Gleichungen funktioniert. Bei mehr als 2 Variablen ist es aber schlichtweg zu aufwendig. Der Ablauf ist dabei stets derselbe: Es wird (möglichst die leichtere der beiden) Gleichungen nach einer Variablen aufgelöst, ehe man diese in die Andere einsetzt. So hat man anschließend wieder eine Gleichung mit nur 1 Unbekannten. Wie man diese löst, wisst ihr ja jetzt.

Für unser Beispiel von oben heißt das also, dass wir die erste Gleichung nach x auflösen.

6x + 12y = 30 | -12y
6x = 30 – 12y | :6
x = 5 – 2y

Wie oben beschrieben, erhalten wir schließlich eine nach x aufgelöste Gleichung. Alles rechts vom Gleichheitszeichen wird in Klammern (!) in die zweite Gleichung des obigen Gleichungssystems eingesetzt.

3x + 3y = 9 | Einsetzen
3 ( 5 – 2y ) + 3y = 9 | Ausmultiplizieren
15 – 6y + 3y = 9 | Zusammenfassen
15 – 3y = 9 | – 15
-3y = -6 | •(-1)
3y = 6 | : 3
y = 2

Wir haben nun eine Lösung für y ermittelt, die wir jetzt in eine der Gleichungen einsetzen, die sowohl x, als auch y enthält.

x = 5 – 2y | y = 2 einsetzen
x = 5 – 2 • (2) | Ausmultiplizieren
x = 5 – 4 | Zusammenfassen
x = 1

Korrekt durchgeführt? Dann solltet ihr folgende Lösungen für die Gleichungen erhalten: x = 1 und y = 2 .Somit kostet in unserem Beispiel ein Apfel 1 Euro und eine Birne 2 Euro. Um sicherzugehen, dass keine Rechenfehler gemacht wurden, kann man die Lösungen in beide Gleichungen einsetzen, welche dann korrekt aufgehen sollten. Hier einmal exemplarisch eine Probe:

6x + 12 y = 30 | x=1 und y=2 einsetzen
6•(1) + 12•(2) = 30 | Ausmultiplizieren
6 + 24 = 30 | Addieren
30 = 30 | Stimmt!
3x + 3y = 9 | x = 1 und y = 2 einsetzen
3•(1) + 3•(2) = 9 | Ausmultiplizieren
3 + 6 = 9 | Addieren
9 = 9 | Stimmt !

Wir sehen: Die Gleichungen gehen auf (30 = 30 und 9 = 9). Damit stimmt die Lösung und die zeitintensive Prozedur, alles von vorn zu rechnen, entfällt.

Gleichungssysteme mit 2 Unbekannten lösen: Das Gauß-Verfahren

Neben dem gerade vorgestellten Einsetzungsverfahren, möchten wir euch hiermit noch ein weiteres, hocheffizientes Verfahren vorstellen: Das Gauß-Eliminationsverfahren, benannt nach dem renommierten Mathematiker Carl Friedrich Gauß. Wie der Name schon hinreichend erklärt, werden hierbei Variablen „eliminiert“. Wir werden dies anhand derselben Gleichungen demonstrieren wie oben:

| 6x + 12y = 30 | Gleichung Nr. 1
| 3x + 3y = 9 | Gleichung Nr. 2

Ziel hierbei: Wahlweise x oder y zu eliminieren. Dazu versucht man mit möglichst wenigen Zwischenschritten die Gleichungen zu addieren oder voneinander zu subtrahieren, damit eine neue Gleichung entsteht, die nur noch 1 Variable besitzt. Diese kann man dann einfach errechnen, in eine der Ausgangsgleichungen einsetzen und Lösungen für x und y erhalten.

Schaut man sich unsere Beispielgleichungen an, bemerkt man schnell, dass in der ersten Gleichung 6x und in der zweiten Gleichung 3x direkt am Anfang stehen. Stünde ebenfalls in der zweiten Gleichung 6x am Anfang, könnten man die beiden voneinander abziehen. Dann nämlich fiele die Variable x raus. Da das aber nicht der Fall ist, müssen wir uns die erste Gleichung etwas „zurechtschneidern“. Dies würde dann folgendermaßen aussehen:

3x + 3y = 9 | •2
6x + 6y = 18

Damit sieht unser neues Gleichungssystem so aus:

| 6x + 12y = 30 | Gleichung Nr. 1
| 6x + 6y = 18 | Gleichung Nr. 2

Nun zieht man die beiden Gleichungen voneinander ab:

| 6x + 12 y = 30 | Gleichung Nr. 1
– | 6x + 6y = 18 | Gleichung Nr. 2
6y = 12

Teilen wir nun diese letzte Gleichung durch 6, erhalten wir y = 2. Diese Lösung wird dann wie beim Einsetzungsverfahren einfach in eine der beiden Startgleichungen eingesetzt. Wir erhalten x = 1.

Welches der beiden Verfahren ihr letztendlich einsetzt, ist natürlich euch überlassen. Die einzigen Kriterien sollten hierbei die Bequemlichkeit und Schnelligkeit darstellen. Habt ihr es hingegen mit mehr als zwei Unbekannten zu tun, solltet ihr aus Zeitgründen auf jeden Fall das Gauß-Verfahren favorisieren!

Gleichungssysteme mit 3 Unbekannten lösen: Gauß-Verfahren

Das Gauß-Verfahren funktioniert für zwei Unbekannte, aber wie oben erwähnt auch für ein ganzes Variablen-Trio. Wie genau das mit drei Unbekannten geht, zeigen wir euch an einem weiteren Beispiel:

| -x + y + z = 0 | 1.Gleichung
| x – 3y -2z = 5 | 2. Gleichung
| 5x + y + 4z = 3| 3. Gleichung

In der ersten Gleichung steht -x und in der zweiten +x. Addieren wir beide miteinander, fliegt das x raus. Mathematisch sieht das so aus:

| -x + y + z = 0 |
| x – 3y -2z = 5 | Addieren
-2y – z = 5

Nun haben wir aus den ersten beiden Gleichungen eine neue Gleichung kreiert, die nur noch zwei Unbekannte hat. Leider ist in der dritten Ausgangsgleichung ebenfalls ein „x“ vorhanden, welches natürlich auch noch eliminiert werden muss. Dazu schnappen wir uns genau ebenjene dritte Gleichung und von den anderen beiden Startgleichungen exemplarisch mal die Erste, die wir mit 5 multiplizieren. Daraus folgt: -5x + 5y + 5z = 0. Die umgeformte Version der ersten Gleichung wird nun mit der dritten Gleichung addiert.

| -5x + 5y + 5z = 0 | 1. Gleichung
| 5x + y + 4z = 3 | 3. Gleichung
6y + 9z = 3 |Addition der Gleichungen

Wir haben uns somit zwei Gleichungen gebaut, die jeweils nur noch zwei Unbekannte haben. Diese lauten wie folgt:

| -2y -z = 5 | Erste neue Gleichung
| 6y + 9z = 3| Zweite neue Gleichung

Das Muster kommt euch bekannt vor? Dann habt ihr gut aufgepasst: Wir haben erneut 2 Gleichungen mit jeweils 2 Unbekannten. Nun geht dasselbe Spielchen los, wie weiter vorne schon behandelt. Bei näherer Betrachtung der Gleichungen bietet es sich an, die zweite Gleichung durch 3 zu dividieren. Dieser Schritt liefert uns: 2y + 3z = 1. Nun kann man die beiden Gleichungen bequem miteinander addieren:

-2y – z = 5 |1. neue Gleichung
2y + 3z = 1 |2. neue Gleichung, wird nun addiert
2z = 6 | : 2
z = 3

Wir erhalten z = 3, welches wir direkt in die Gleichung -2y – z = 5 einfügen und y = -4 erhalten. Setzen wir nun z und y in eine der Startgleichungen (z.B. -x + y + z = 0) ein, ergibt sich schließlich x = -1. Damit ist das Gleichungssystem gelöst.

Tipps & Tricks zum Lösen von Gleichungssystemen

Abschließend hier noch einige nützliche Tipps und Tricks:

  • •„2 kleiner 3“: Ihr musstet erst Gleichungen mit einer Variablen im Schlaf beherrschen, um mit 2 Variablen klarzukommen. Genauso solltet ihr Gleichungen mit 2 Unbekannten verlässlich beherrschen , bevor ihr euch gleich mit Dreien rumschlagt!
  • •Aller Anfang ist bekanntlich schwer. Geht also mit einer gesunden Einstellung an eure ersten Versuche, und seid weder übermütig noch direkt nach dem zweiten Fehler entmutigt. Dann heißt es: Cool bleiben und noch einmal gründlich nach Flüchtigkeitsfehlern suchen.
  • •Macht es euch leicht! Statt blind drauf loszurechnen, solltet ihr euch zunächst immer erst das System anschauenund z.B. nach leicht zu eliminierenden Variablen Ausschau halten. Gerade in Klassenarbeiten bauen Lehrer oft Aufgaben ein, bei denen man mit einem der beiden Verfahren deutlich schneller und angenehmer ans Ziel kommt.
  • •Übung macht den Meister! Trainiert eben Gelerntes mit unseren Übungsaufgaben auf der nächsten Seite, um an Sicherheit zu gewinnen.

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