Logarithmus berechnen – Formel, Beispiele, Tipps & Video

Der Logarithmus sorgt bei vielen Personen für Unverständnis. Daher sollen hier die genauen Definitionen der einzelnen Formen des Logarithmus behandelt, erklärt und erläutert werden. Anfangen mit der Frage nach dem natürlichen Logarithmus, bis zum dekadischen Logarithmus. Untermauert wird dies anhand von Beispielen um ein besseres Verständnis zu geben.

In der Schule beginnt der Stoff meist mit dem Lösen von einfachen Gleichungen, welche nach und nach schwieriger werden. Meist hin bis zum Gleichungssystem. Hierbei kommen dann meist Formeln und Ausdrücke wie 13 + 4x = 0 zum Einsatz. In dieser Form ist ein Lösen der Gleichung durch die verschiedenen Rechenarten durchaus möglich. Problematisch wird es dann, wenn die Gleichung heißt: Y = 2x. Hier kommt man nicht drum rum den Logarithmus anzuwenden.

Doch bevor es damit los geht, solltet man zunächst in sich hinein horchen und fragen: kann ich mit Potenzen arbeiten?, Gleichungen lösen kann ich? Exponentialfunktionen sind mir auch nicht fremd? Gut, andernfalls sollte das fehlende Wissen schnellstmöglich nachgeholt und nachgearbeitet werden. Was für Arten des Logarithmus gibt es nun:

Der Logarithmus zur Basis 2:

Zunächst einmal ein kurzer Rückblick zur Rechnung von eben: Y = 2x. Wollen wir diese Gleichung nach x auflösen, logarithmieren wir diese nun aus. Das zeigt sich dann wie folgt:

Y = 2x logarithmiert ergibt log2y = x. Dies muss nun auch auf der anderen Seite angewandt werden. Das heißt: Der Logarithmus von y zur Basis 2 ist = x. Im Hinterkopf muss man sich nun überlegen, welche Hochzahl benötigt wird (x), die mit der Zahl 2 potenziert das Ergebnis y ergibt. Gezeigt hat das Beispiel Y = 2x den Zweierlogarithmus, da die Basis hier zwei ergab. Für das Verständnis ein paar Beispiele:

  • log216 = 4, denn 24 = 16
  • log21024 = 10, denn 210 = 1024

Was gibt es noch für Formen?

Es gibt noch weitere Logarithmusarten, welche an dieser Stelle einmal gezeigt werden sollen. Hierfür einige Beispiele:

Rechenregel und dazugehöriges Beispiel:

Rechenregel Beispiel
loga (u · v) = logau + logav log2 (4 · 8) = log24 + log28 = 2 + 3 = 5
loga (u : v) = logau – logav log3 (81 : 9) = log381 – log39 = 4 – 2 = 2
logaun = n · logau log51254 = 4 · log5125 = 4 · 3 = 12

Der natürliche und dekadische Logarithmus

Der Zweierlogarithmus wurde im Text bereits erläutert. Die Mathematik gibt nun zwei weitere Rechenarten beim Logarithmieren vor. Den Logarithmus zur Basis 10 (dekadischer Logarithmus) sowie die Basis e (natürlicher Logarithmus).

Der natürliche Logarithmus:

In der Mathematik gilt der natürliche Logarithmus, für die Berechnung zur Basis e. Hier wird dann folgende Schreibweise verwendet: y = logx, man könnte andernfalls auch schreiben y = lnx. Hier ist sich die Literatur nicht einig und überlässt es jedem selbst. Es sei denn, es gibt gewisse formelle Angaben. Als Merksatz gilt hierbei:

logex = lnx

Der dekadische Logarithmus:

Weiterhin gibt es in der Mathematik den dekadische Logarithmus, welcher auch Zehnerlogarithmus genannt wird. Dieser Zehnerlogarithmus beinhaltet immer die Basis 10. Hier wird dann folgende Schreibweise verwendet: y = log10r, man könnte andernfalls auch schreiben lg r. Hier ist sich die Literatur nicht einig und überlässt es jedem selbst. Es sei denn, es gibt gewisse formelle Angaben. Als Merksatz gilt hierbei:

log10r = lgr

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