Mittelpunktswinkel vom Kreisausschnitt berechnen – Anleitung

Mittelpunktswinkel vom Kreisausschnitt berechnen

Ihnen schwirrt schon der Kopf, wenn Sie “π” nur hören und jetzt sollen Sie auch noch einen Kreisausschnitt berechnen? – Keine Sorge! Denn das ist eigentlich ganz einfach.

Was ist ein Kreisausschnitt?

Bei einem Kreisausschnitt handelt es sich um eine Teilfläche eines Kreises. Sie wird von zwei Radien und dem Kreisbogen, der die beiden Radien verbindet, eingeschlossen. Bildlich kann man sich das vorstellen wie ein Tortenstück, das aus einem runden Kuchen herausgeschnitten wird.

Die Spitze eines Kreisausschnitts liegt immer im Mittelpunkt des ursprünglichen Kreises. Deshalb nennt man den dort auftretenden Winkel zwischen den zwei Radien auch Mittelpunktswinkel.

Mittelpunktswinkel berechnen

Um mit Kreisausschnitten zu rechnen, hilft es immer, sich diese als Anteile des ganzen Kreises zu denken. Im Bild der Torte: Wenn man zwölf Stücke schneidet, ist ein “Ausschnitt” ein Zwölftel des ganzen Kuchens – also ist die Fläche 1/12 der Gesamtfläche, der Kreisbogen 1/12 des Umfangs und der Mittelpunktswinkel eben 1/12 eines ganzen Kreises – also 360°/12 = 30°.

So kann man mit verschiedenen gegebenen Größen ganz einfach auf den Mittelpunktswinkel kommen.

a) Kreisbogen und Radius

Wenn die Länge des Kreisbogens “b” und der Radius “r” gegeben sind, ergibt sich der Winkel “α” aus der Formel:

α = b / (2 π r) ⋅ 360° ,

da der Anteil des Kreisbogens am Gesamtumfang des Kreises der gleiche ist, wie der Anteil des Winkels α an den vollen 360°.

b) Fläche und Radius

Sind der Flächeninhalt des Kreisausschnitts “A” und der Radius “r” gegeben, so rechnet man im Grunde den Anteil von A an der Gesamtfläche des Kreises aus. Eingesetzt in eine Formel bedeutet das:

α = A / (π r²) ⋅ 360°

c) Kreisbogen und Fläche

Liegen aus der Aufgabenstellung nur der Flächeninhalt “A” und der Kreisbogen “b” vor, wird die Rechnung ein kleines bisschen umständlicher. Der Lösungsansatz bleibt grundlegend aber derselbe: Man berechnet das Verhältnis zwischen Kreisausschnitt und ganzem Kreis und multipliziert diesen Quotienten mit 360°.

Der Übersichtlichkeit halber teile ich diese Rechnung in mehrere Schritte auf.

(1) Man stellt eine allgemeine Formel für b in Abhängigkeit vom Anteil “x” des Kreisausschnitts am Kreis (also in unserem Kuchenbeispiel vorhin 1/12) und dem Radius “r” auf. Diese wird nach x umgeformt:

b = x ⋅ 2 π r |:2 π r
x = b / (2 π r) (i)

(2) Analog stellt man eine allgemeine Formel für A in Abhängigkeit von x und r auf. Auch diese wird nach x aufgelöst:

A = x ⋅ π r²      |:π r²
x = A / (π r²) (ii)

(3) Die so erhaltenen Gleichungen (i) und (ii) haben beide nur x auf einer Seite stehen, also kann man sie gleichsetzen:

A / (π r²) = b / (2 π r) |⋅ (π r²) / b

Durch trennen der Bekannten vom Rest der Gleichung, …

A / b = (π r²) / (2 π r)

… kürzen …

A / b = r / 2 |⋅ 2

… und nach r umformen erhält man also:

r = 2 A / b      (iii)

(4) Einsetzen von (iii) in (i) ergibt:

x = b / (2 π ⋅ 2 (A / b)
= b² / (4 π A)

(5) Also erhält man als Formel für den Mittelpunktswinkel:

α = x ⋅ 360°
= b² / (4 π A) ⋅ 360°

Näherung des Mittelpunktswinkels

Insbesondere Physiker arbeiten gerne mit Näherungen. Für kleine Winkel α kann man die Lösung auch mithilfe der trigonometrischen Funktionen abschätzen.

Man betrachtet dann den Kreisbogen b als eine gerade Strecke und den Kreisausschnitt als rechtwinkliges Dreieck. (Dass dies nur als Näherung möglich ist, sieht man schon ganz einfach daran, dass b unmöglich zu beiden Radien einen Winkel von 90° haben kann.)

Unter diesen Annahmen ergibt sich:

sin(α) = b / r

Aufgrund seiner hohen Impräzision sollte dieser Ansatz aber eher vermieden werden. Wenn man konkrete Zahlenwerte gegeben hat, ist es in der Regel ohnehin leichter, wie oben mit Verhältnisformeln zu rechnen.

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