Ortskurve berechnen – Formel, Beispiele, Tipps & Video

Der folgende Artikel legt seinen Fokus auf Ortskurve von Wendepunkten bzw. Extrempunkten von Kurven- und Funktionsscharen. Erläutert wird dabei die allgemeine Vorgehensweise in Bezug auf Beispiele. Auch ein Video steht neben dem Artikel zur Verfügung, damit entsprechende Beispiele ausführlich dargestellt und erklärt werden können.
In diesem Artikel geht es ausschließlich um die mathematische Ortskurve im Zuge einer Kurvendiskussion.

Eine beliebte Aufgabe im Rahmen einer Kurvendiskussion ist das herausfinden von Ortskurven. Hierbei handelt es sich um eine Kurve, auf der alle Punkte einer Funktion liegen, die bestimmte Anforderungen erfüllen. Damit der Artikel gut gelesen und verstanden werden kann ist ein Vorwissen in den thematischen Bereichen Extrempunkte und Wendepunkte zwingend notwendig. Nachzulesen sind diese beiden Thematiken in anderen Artikeln.

Kurvenschar und Funktionsschar: Die Ortskurve der Extremwerte

Extremwerte sind die Hoch- und Tiefpunkte der zu untersuchenden Kurve. Die Ortskurve der Extremwerte zu finden heißt nichts anderes als eine Funktion zu finden, auf der alle vom Parameter abhängigen Extremwerte eingetragen werden können. Das klingt erst einmal recht kompliziert, aber ein Vorgehensplan und ein Beispiel sollten dem Verständnis dienen:

Der Vorgehensplan

  • Zuerst müssen die erste und die zweite Ableitung der Funktion erstellt werden
  • Anschließend wird die erste Ableitung gleich Null gesetzt
  • So wird geprüft, ob ein Extrempunkt vorliegt
  • Der x-Wert des Extrempunkts wird in die ursprüngliche Funktion eingesetzt, um den y-Wert zu berechnen
  • Dann wird der x-Wert des Extrempunkts nach der Formvariablen umgestellt
  • Abschließend wird damit in den y-Wert des Extrempunkts gegangen, um die Ortskurve berechnen zu können

Ein Beispiel zum Verständnis

Voraussetzung für dieses Beispiel ist die Funktionsschar f(x) = x² + kx + 1. Die Aufgabe ist es, einen Extremwert in Abhängigkeit von k und eine Ortskurve, die alle Extrempunkte beinhaltet, zu finden.

Dazu muss zuerst die Funktion zweimal abgeleitet werden. Bei Problemen kann ein anderer Artikel zum Thema Ableitungen zur Hilfe genommen werden. Dann wird die erste Ableitung gleich 0 gesetzt. Dabei ergibt sich x = -0,5k. Zur Probe, ob tatsächlich ein Extrempunkt vorliegt, wird nun die zweite Ableitung verwendet. Ist dies der Fall, so muss der Wert x = -0,5k in die ursprüngliche Funktionsschar eingesetzt werden, wobei y = 0,25k² + 1 herauskommt. Der Extrempunkt liegt demnach bei (-0,5k|0,25k²+1).

Um die Ortskurve zu berechnen, muss nun x = -0,5k nach x umgestellt werden. Das Ergebnis ist k = -2x. Mit diesem Ergebnis muss nun in die Gleichung für den y-Wert gegangen werden, so dass sie zu y = -x² + 1 wird. Dieses Ergebnis beschreibt die Ortskurve.

extrempunkte

Kurvenschar und Funktionsschar: Die Ortskurve der Wendepunkte

In diesem Fall ist das Ziel, eine Ortskurve der Wendepunkte ausfindig zu machen. Auf dieser sollen sich alle Wendepunkte in Abhängigkeit zum Parameter befinden. Auch hier soll wieder zuerst der Vorgehensplan und dann ein Beispiel vorgestellt werden.

Der Vorgehensplan

  • In diesem Fall muss die Funktion drei Mal abgeleitet werden
  • Anschließend wird die zweite Ableitung gleich Null gesetzt
  • Dann wird geprüft, ob der Wendepunkt tatsächlich vorliegt
  • Danach wird der x-Wert des Wendepunkts in die ursprüngliche Funktion eingesetzt, so dass y ermittelt werden kann
  • Dann wird der x-Wert des Wendepunkts nach der Formvariablen umgestellt
  • Abschließend wird damit in den y-Wert des Wendepunkts gegangen, um die Ortskurve berechnen zu können

Ein Beispiel zum Verständnis

Voraussetzung für dieses Beispiel ist die Funktion f(x) = -x³ + tx². Zu Beginn sollte die Funktion drei Mal abgeleitet werden und gleich Null gesetzt werden. Als Lösung ergibt sich x = t : 3. Die Überprüfung des Wendepunktes erfolgt nun anhand der dritten Ableitung. Der x-Wert des Wendepunktes wird anschließend in die ursprüngliche Funktion eingesetzt, so dass ein y-Wert gebildet werden kann. An dieser Stelle ist geklärt, wo sich der Wendepunkt befindet. Um die Ortskurve zu ermitteln muss der x-Wert des Wendepunkts nach t umgestellt werden. Dieser Wert wird in den y-Wert des Wendepunkts eingesetzt. Die Ortskurve ist demnach y = 2x³.

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