Partielle Integration / Produktintegration leicht erklärt – Formel, Beispiele

Oft muss man Funktionen integrieren, die es einem etwas schwerer machen, als einfache Polynome. Ein solcher Fall ist gegeben, wenn man das Produkt zweier Funktionen integrieren möchte. Dabei spricht man dann von partieller Integration oder auch Produktintegration.

Die partielle Integration ist im Grunde das Analogon zur Produktableitung, die euch hoffentlich bereits bekannt ist.
Im Folgenden findet ihr zunächst die allgemeine Formel, worauf dann ein konkretes Beispiel und eine abschließende Zusammenfassung folgen.

partielle-integration-formel

Beispiele zur Produktintegration

Der erste und wichtigste Schritt bei der partiellen Integration ist die Festlegung von u und v‘. Stellt ihr im Laufe einer Aufgabe fest, dass ihr euch im Kreis bewegt und eure Wahl falsch war, so tauscht einfach u und v‘ und fangt noch einmal an.
Es kann aber auch passieren, dass ihr eine doppelte Produktintegration ausführen müsst. In dem Fall wählt ihr einfach ein neues u und v‘ und fahrt fort wie bisher.

partielle-integration-beispiel

Kurze Zusammenfassung

Zunächst wählt ihr u und v‘ und bildet damit dann u‘ und v. Dies setzt ihr anschließend in die obige Formel ein, vereinfacht eure Rechnung und berechnet dann das neue Integral (eventuell mit erneuter Produktintegration). Abschließend fasst ihr die Lösung noch einmal zusammen.

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