Polynomdivision – leichte Erklärung, Beispiele & Tipps + Video

Die schriftliche Division von Zahlen kennt man meist schon aus der Grundschule und ist in ihr gut geübt, doch die Polynomdivision bereitet vielen Schülern und auch später noch Studenten Probleme. Um dabei zu helfen, wird im Folgenden noch einmal an die Regeln der einfachen schriftlichen Division erinnert um dann am Ende beispielhaft zwei Polynomdivisionen zu zeigen.

Zur schriftlichen Division

Schriftliches Dividieren lernen Beispiel 1

Gesucht ist das Ergebnis der Aufgabe 840:4. Um dieses zu finden gehen wir wie folgt vor: Wir fangen mit der 8 an. Die 4 passt genau zweimal in die 8, so dass wir 2 als erste Zahl unserer Lösung aufschreiben können. Jetzt geht es nochmal rückwärts, denn 2 mal 4 ergibt 8, also wird die 8 unter die erste 8 geschrieben. Diese beiden untereinander geschriebenen Zahlen werden nun voneinander abgezogen, weswegen wir ein Minus vor die untere 8 schreiben und dann einen Strich unter ihr ziehen. 8 – 8 = 0, also kommt unter den Strich und die 8 eine 0.
Nun das gleiche Spiel mit der nächsten Zahl von links, der 4.

Diese schreiben wir neben die 0 und dividieren sie auch wieder durch 4, was 1 ergibt. Hinter die 2 der Lösung schreiben wir somit eine 1, welche wir dann wieder mit der 4 multiplizieren. Die 4, die dabei rauskommt, gehört wieder unter die 4, die wir vorher heruntergeholt hatten. Vor diese neue 4 kommt auch wieder ein Minus und wir rechnen 4 – 4 = 0 .

Schließlich wird die 0 als letzte Zahl unter einem weiteren Strich unter die 4 geschrieben. 0:4 ergibt 0, so dass die letzte Zahl unserer Lösung 0 ist. Auch die Multiplikation von 0 mit 4 ergibt 0, was wieder nach links unter die anderen Zahlen geschrieben wird.
Die letzte Subtraktion 0 – 0 ergibt schließlich 0, so dass wir mit dieser Aufgabe fertig sind.

Was bedeutet eigentlich Polynomdivision?

Bei der schriftlichen Division teilt man eine Zahl durch eine andere, bei der Polynomdivision tut man dies mit Polynomen.
Oft behandelt man Polynome von einem Grad, der höher als zwei ist, und deren Nullstellen nicht
mittels der pq – Formel zu finden sind. Die Polynomdivision ermöglicht es einem – ist eine Nullstelle bekannt – das Polynom zu vereinfachen und so auf weitere Nullstellen zu schließen.
Diese erste Nullstelle zu finden ist jedoch nicht immer so leicht und dabei kann auch die Polynomdivision nicht helfen.

Ein Beispiel zur Polynomdivision

Polynomdivision Beispiel 1

Es sei f(x)= x³ – 2x² – 5x + 6, dann kann man x=1 als Nullstelle durch Probieren herausfinden. Gesucht sind jedoch noch die restlichen Nullstellen.
Um diese zu finden dividieren wir (x³ – 2x² – 5x + 6 ) durch (x – 1).
Ganz analog zu der schriftlichen Division fangen wir mit dem ersten Term von links an, also x³. x³:x ergibt x², was wir nun mit x – 1 multiplizieren. Das Ergebnis dieser Rechnung (x³ – x²) schreiben wir nun unter unser Polynom. Danach ziehen wir den neuen Term von dem oberen ab und erhalten (x³ – 2x²) – (x³ – x²) = 0 – x². Dann holen wir den nächsten Summanden, -5x, herunter und fangen mit -x² – 5x von vorne an.
Wie auch bei der schriftlichen Division setzen wir dieses Verfahren so lange fort, bis wir alle Summanden unseres Polynoms heruntergeholt haben.
Als Ergebnis erhalten wir das neue Polynom x² – x – 6.

Wir rechnen Probe (x² – x – 6)*(x – 1)=(x³ – 2x² – 5x + 6 ).

Mittels der pq – Formel findet man für x² – x – 6 als weitere Nullstellen 3 und -2.
Damit zerfällt das ursprüngliche Polynom f(x) = (x + 2)(x – 3)(x – 1).
Eine letzte Probe ergibt auch hier, dass das Ergebnis stimmt.

Ein weiteres Beispiel

Polynomdivision Beispiel 2

Nun sei f(x) = 3x³ – 10x² + 7x – 12 und x = 3 eine Nullstelle. Wir teilen also (3x³ – 10x² + 7x – 12 ) durch (x-3).
Auch hier funktioniert das ganze wieder wie bei der schriftlichen Division: Wir teilen 3x³ durch x und erhalten 3x², was wieder zurück multiplizieren mit x – 3. So erhält man 3x³ – 9x², was man dann wiederum vom oberen Polynom abzieht.
Schließlich erhält man hier als Lösung 3x² – x +4, welche durch eine Probe bestätigt wird.
Auf unser neues Polynom wenden wir erneut die pq – Formel an (nachdem man es durch 3 geteilt hat, damit der Vorfaktor von x² verschwindet).

Hierbei erhält man jedoch ein Minus unter der Wurzel, so dass die Rechnung nicht weiter geführt werden kann (mit Schulmathematik). Die einzige Nullstelle bleibt also die 3.

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