PQ Formel leicht anwenden & lösen mit Beispielen – so gehts

Hier erfährst du alles, was es über den Einsatz der PQ Formel bei quadratischen Gleichungen zu wissen gibt. Dabei zeigen wir kurz auf, was überhaupt mit einer quadratischen Gleichung gemeint ist und warum überhaupt die PQ Formel benötigt wird. Doch wir erklären nicht nur mit Worten, sondern auch mit Beispielen.

Was ist eine quadratische Gleichung?

Eine quadratische Gleichung kann verschiedene Formen annehmen. So ist eine der bekanntesten Gleichungen ax2 + bx +c = 0. Eine quadratische Gleichung ist dabei immer auf eine Form zu bringen. Hinter den Buchstaben (a,b,c) verbergen sich ganze Zahlen. Das Einsetzen dieser entspricht dem Wert hinter dem Gleichzeichen, also 0. Hier ein Beispiel:

3×2 + 5x + 3 = 0 oder
x2 + 2x + 1 = 0

Beide Gleichungen sind nach x aufzulösen. Was die Gleichung quadratisch macht, ist ihr ‚Hoch 2‘. Unabhängig, ob man mit einer quadratischen oder regulären Gleichung betraut ist, beide werden nach der Variablen x aufgelöst. Doch wie geschieht dies bei quadratischen Gleichungen?

Mit der PQ Formel quadratische Gleichungen lösen

Wer eine quadratische Gleichung vor sich hat, der braucht die PQ Formel um sie auflösen zu können. Aber halt! Habt ihr noch Schwierigkeiten mit den regulären Gleichungen und auch beim Wurzelziehen und -rechnen schlecht sich der ein oder andere Fehler noch ein? Dann geht es für euch einmal zu den folgenden Abschnitten. Ansonsten, geht es für alle weiter mit der PQ Formel und wie man mit dieser quadratische Gleichungen lösen kann.

So setzt du die PQ Formel ein

Um eine Gleichung wie unsere beiden Beispiele aufzulösen, greift der Mathematiker und auch Du zur PQ Formel. Was das ist? Hier kommt sie:

PQ-Formel: x2 + px + q = 0
Auflösung: x = – p/2 +- Wurzel aus (P/2)2 – q

Was das bedeutet in Worten?

  1. Du bringst zu erst die Formel in die Form x2 + px + q = 0
  2. Dann geht es darum p und q aufzulösen und herauszufinden.
  3. Hast du hierfür Werte, dann kannst du diese in die Formel einsetzen.
  4. Nun kann die Lösung berechnet werden.

Soviel in Wort und Beispiel und Theorie. Jetzt einmal bitte mit Zahlen.

Beispiel: 3×2 + 5x + 1 = 0 / :3
x2 + 1,67 x + 0,33 = 0
P = 1,67 q = 0.33
x = -1,67/2 +- Wurzel aus (1,67/2)2 – 0,33
x = – 0.835 + – Wurzel aus 0,367
x1 = – 0,835 + 0,6 = – 0,235
x2 = – 0,835 – 0,6 = – 1,435

Jetzt noch einmal in Wort und Schrift? Die 3 zu Beginn stört. Deswegen teilen wir die ganze Formel durch 3. So ermitteln wir auch p und q für diese Gleichung. Anschließend können wir diese errechneten Werte in die PQ Formel eingesetzt werden. Es wird die Wurzel gezogen, dann wird addiert und subtrahiert. Somit erhält eine quadratische Gleichung immer zwei reelle Lösungen. In unserem Fall: – 0.235 und – 1,435.

Die PQ Formel bei negativer Wurzel und Vorzeichen

Damit es noch einmal so richtig schön spannend wird, hier noch zwei Besonderheiten bei der PQ Formel und quadratischen Gleichungen. Wird die Zahl unter der Wurzel mit Berechnung negativ, so kann die Rechnung abgebrochen werden. Es gibt keine Lösung. Aus negativen Zahlen können Schüler keine Wurzeln ziehen. Das überlassen wir den Studenten.
Bei der PQ Formel müssen wir ganz besonders viel Aufmerksamkeit dem Vorzeichen schenken. Besonders, wenn es um die Ermittlung von p und q geht, sind die Vorzeichen mit zu berücksichtigen und zu übertragen. Bei dem Beispiel: x2 – 5x + 3 = 0 ist p -5 und als dieser Wert in die PQ Formel einzutragen.

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