Quadratische Gleichungen mit PQ Formel lösen – so gehts

Um mit der PQ Formel quadratische Gleichungen lösen zu können, muss erst einmal geklärt werden was überhaupt die PQ Formel ist, bei was die PQ Formel hilft und was eine quadratische Gleichung ist. Zunächst beantworte wir euch diese Fragen und stellen euch Beispiele und Aufgaben vor, um das ganze etwas anschaulicher zu machen.

Bei einer quadratischen Gleichung handelt es sich um eine Gleichung die der Form ax2 + bx + c = 0 entspricht, bzw. eine Gleichung die man zu dieser Form umwandeln kann. Die Buchstaben a, b und c sind irgendwelche beliebigen Zahlen, aber Achtung, a darf NIE 0 sein. Um es einfacher übermitteln zu können, haben wir uns Beispiele rausgesucht: z.B. 3×2 + 5x + 3 = 0 oder x2 + 2x + 1 = 0.

Bei den bisherigen Gleichungen die wir kannten, gab es keinen quadratischen Anteil. Dies ist hier anders und somit ist auch der Weg, bei dem man nach x auflöst, anders. Hier kommt der Zeitpunkt an dem die PQ Formel zum Einsatz kommt und um diese werden wir uns jetzt beschäftigen. Um die PQ Formel und ihr Prinzip zu verstehen, muss man einige Vorkenntnisse haben in den Themen Gleichungen lösen und Wurzelrechnung, diese sollte man sich also nochmal angucken.

Das Einsetzen der PQ Formel

Wenn man eine quadratische Gleichung nach x auflösen möchte, wie z.B. x2 + 2x + 1 = 0 , dann kann man die PQ Formel benutzen. Nachfolgen zeigen wir euch erst einmal die Formel und geben euch ein paar Informationen.

pq-formel-formel

Eine quadratische Gleichung lösen: so geht’s

  • Schritt 1: Die Gleichung muss in die Form x2 + px + q = 0 gebracht werden.
  • Schritt 2: p und q müssen rausgefunden werden.
  • Schritt 3: p und q werden in die PQ Formel eingesetzt.
  • Schritt 4: Lösung berechnen mithilfe der PQ Formel

Um es etwas anschaulicher zu machen, haben wir Beispiele für die jeweiligen Schritte.

pq-formel-beispiel

Vor dem x^2 muss immer eine 1 stehen. Die 3 dort ist also fehl am Platz und wir müssen sie weg kriegen. Um dies zu erreichen dividieren wir durch 3. Dann lesen wir p und q ab und setzen diese in die PQ Gleichung ein. Anschließend wird der Ausdruck vor und unter der Wurzel berechnet und die Wurzel wird von dem Wert gezogen, es wird einmal subtrahiert und einmal addiert. Merken: eine quadratische Gleichung hat nicht mehr als zwei Lösungen im reellen.

quadratische-gleichung-beispiel-pq-formel

Nun ist die ursprüngliche Aufgabe schon in der richtigen Form und p und q können ganz einfach abgelesen werden. Diese werden dann in die Gleichung eingesetzt und ausgerechnet.

Negative Wurzeln und Beachtung der Vorzeichen

Auf zwei weitere Dinge muss man bei der Anwendung der PQ Formel achten.

  1. Wenn unter der Wurzel eine negative Zahl steht, dann muss man nicht mehr weiter berechnen, denn dazu gibt es keine Lösung.
  2. Beachtet immer die Vorzeichen! Beispielsweise bei der Aufgabe x2 -5x + 3 = 0 ist p=-5 und so muss die -5 auch in die PQ Formel eingesetzt werden.

Natürlich haben wir auch für dieses Beispiel für euch

pq-formel-negative-wurzel

Um sicher im Umgang mit der PQ Formel zu werden, hilft eigentlich nichts anderes als üben. Je öfter man die PQ Formel benutzt, umso besser wird man sie anwenden können. Falls ihr also üben möchtet, könnt ihr einen Blick auf unsere Übungsaufgaben werfen und diese mithilfe der PQ Formel lösen.

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