Satz des Thales – Formel, Beispiel & Tipps

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In diesem Artikel sollen euch heute Anwendungsbeispiele, Tipps sowie weitere wichtige Informationen zum „Satz des Thales“ nahegelegt werden. Der „Satz des Thales“ beschreibt wie man ein rechtwinklinges Dreieck konstruieren kann. Einfach und verständlich erklärt, sowie mit verschiedenen Vorgaben.

Konstruktion von rechtwinkligen Dreiecken

1) Rechtwinkliges Dreieck mit einem rechten Winkel beim Punkt C

Maße:
c= 8 Zentimeter, b= 4 Zentimeter

Satz des ThalesAuf dem abgebildeten Dreieck ist der Punkt C zu finden. Die Gegenüberliegende Seite, liegt die Strecke AB. Diese Strecke kürzen wir mit c ab. Dies ist die längste Strecke des Dreiecks, da sie gegenüber des rechten Winkel C liegt. In der Mathematik spricht man hier von einer Hypotenuse. Um ein Dreieck exakt zu konstruieren kann man sich mit dem Thaleskreis weiterhelfen. Die Seite c, ist somit der Durchmesser des Thaleskreises. Diesen sollte man als erstes Zeichnen, da der Wert schon vorliegt (8 Zentimeter). Von Seite a fehlen bisher noch komplett die Angaben, weshalb diese Seite als letztes eingezeichnet wird. Bei Seite b ist ein Wert zwar vorhanden, allerdings muss ersteinmal ein Winkel ermittelt werden. Das ist auch ohne ausrechnen möglich.

Hierzu muss der Mittelpunkt (M) gefunden werden. Da uns der Durchmesser von Strecke AB, mit 8 cm bekannt ist, können wir einfach die Hälfte abziehen. So haben wir den Mittelpunkt schon herausgefunden. Die Formel hierbei lautet: c/2 = M . Somit haben wir auch automatisch den Radius (r) des gezeichneten Thaleskreises. Dieser wird unmittelbar danach für den nächsten Schritt benötigt. Am Punkt M wird nun der Zirkel angesetzt und ein Kreis, der die Punkte A und B verbindet gezogen. So wird ersichtlich, dass Punkt C, bei einem Winkel von 90 Grad auf diesem Halbkreis sitzen muss.

Davor müssen wir jedoch noch die Strecke AC (b)zeichnen. Wir wissen jedoch, dass diese Strecke 4 Zenitmeter betragen muss. Somit muss der Zirkel auf 4 Zentimeter Radius eingestellt werden. Von Punkt A wird danach ein weiterer Kreis gezogen. Sofort wird eine Schnittstelle aufällig, in der sich beide Kreise schneiden. Dies ist der einzige Punkt, der auf dem Thaleskreis liegt und 4 Zentimeter von Ecke A entfernt ist. Nun müssen lediglich die Punkte verbunden werden und schon ist das rechtwinklige Dreieck fertig.

2) Das Dreieck soll nun gleichschenklig sein und der rechte Winkel an Punkt B liegen

Satz des ThalesMaße: b= 8 Zentimeter

Da der rechte Winkel bei Punkt B liegt, wissen wir, dass die gegenüberliegende Seite die Strecke b ist. Diese ist mit 8cm bereits vorgegeben. Auch hier suchen wir zuerst den Mittelpunkt M mit der Formel: b/2. Dieser liegt bei 4 cm. Hier setzen wir nun wieder den Zirkel an und ziehen einen Thaleskreis, mit einem Radius von 4 Zentimetern. Da es ein gleichschenkliges Dreieck werden soll, und Punkt B jeweils mit Punkt C und Punkt A verbunden wird, zeichnet man einfach vom Mittelpunkt M eine Senkrechte nach oben, bis sie den Thaleskreis schneidet. An der Schnittstelle befindet sich Punkt B. Dieser wird dann wieder mit Punkt A und C verbunden. Da er den Thaleskreis schneidet, weiß man auch, dass an Punkt B ein rechter Winkel vorliegt.

3) Was macht man, wenn nur eine bestimmte Höhe vorgegeben ist?

Satz des ThalesMaße: Höhe 5 Zentimeter, Rechter Winkel an Punkt C

Hier ist keine Seitenlänge angegeben. Das ist aber nur halb so schlimm. Auch hier hilft es sofort weiter, wenn man einen Thaleskreis zieht. Bei einem Kreis ist der Radius immer gleich lang, deshalb reicht hier auch die Höhe aus. Diese setzt ja an Strecke c an, weshalb der Radius nun 5 cm ist. Höhe h ist also gleichzeitig der Radius des Thaleskreises, der Durchmesser von Strecke AB muss also nun 10 cm betragen, da r*2= Durchmesser. Die Strecke AB (c) kann nun also schon eingezeichnet werden. Nun hat man schon alle Punkte zusammen und kann diese miteinander problemlos verbinden.

4) Ein rechtwinkliges Dreieck, in dem der Winkel y angegeben ist.

Satz des ThalesMaße: a= 8 Zentimeter, Winkel y= 60 Grad
Der rechte Winkel liegt hier bei Punkt A

Die Hypotenuse von Punkt A ist wie immer Strecke BC(a). Das ist also die Aufbaustrecke an der begonnen wird.

Man kann jetzt schon die Strecke BC mit 8 cm einzeichnen, danach wieder der Mittelpunkt ermittelt (r=8/2) und von diesem wiederum der Thaleskreis gezogen. Nun wird an Punkt C der Winkel ausgemessen. Man misst also die 60 Grad aus und zieht danach eine Linie bis zu einem Schnittpunkt mit dem Thaleskreis. Das ist Strecke CA. Damit wurde Punkt A schon ermittelt. Zum vervollständigen wird dieser noch mit Punkt B verbunden und schon hat man ein rechtwinkliges Dreieck an Punkt A.

Zum Ende noch ein paar hilfreiche Tipps:

Möchte man ein Quadrat oder ein Rechteck mithilfe des Satz des Thales erstellen, hilft es, wenn man sich diese Flächen als „doppelte Dreiecke“ vorstellt. Denn das ist nichts anderes, als zwei spiegelverkehrte Dreiecke aneinander geführt. Die Diagonale stellt hierbei den rechten Winkel dar. Von hieran gibt es 2 Dreiecke, die ganz einfach mit Beispiel 1 gelöst werden können.

Wenn man von Punkt M keinen Halbkreis, sondern einen ganzen Kreis mit dem Zirkel zeichnet, so gibt es zwei gleich große Dreiecke – nur spiegelverkehrt.

Wenn man weiter nach Beispiel 1 vorgeht und auf dem oberen Halbkreis alle Schritte durchführt, auf dem unteren Halbkreis jedoch der Strecke a, statt Strecke b, 4 cm zuweist, dann erhaltet ihr ein Rechteck. Dies ist ausgestattet mit 4 rechten Winkeln und zwei gleichlangen Diagonalen.

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