Standardfehler  in Statistik leicht erklärt + Beispiel

Grundlegendes zum Standardfehler

Mit dem Standardfehler des Mittelwerts wird angegeben, welchen Fehler der gesuchte Parameter, der Stichprobenmittelwert, im Vergleich zum tatsächlichen Parameterwert, dem Mittelwert der Grundgesamtheit, hat. Anders ausgedrückt wird berechnet, wie weit der Schätzwert um den tatsächlichen Wert streut. Dabei erfolgt die Berechnung des

Standardfehlers mit folgender Formel:

Standardfehler = Standardabweichung der Stichprobe / √ Stichprobenumfang.

Zudem beeinflussen folgende Faktoren den Standardfehler:

  • die Größe der Stichprobe, dabei gilt: je größer die Stichprobe, desto kleiner der Standardfehler
  • Die Streuung der Messwerte in der Grundgesamtheit.

Die Einheit für den Standardfehler ist identisch mit der Einheit des Messwerts, z.B. kg, Stunden, Jahre, Personen.

Folgendes Beispiel zeigt die Berechnung des Standardfehlers:

Es gibt 10 Personen im Alter von 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 Jahren und man möchte per Stichprobe das Durchschnittsalter ermitteln; in der Grundgesamtheit ist der Mittelwert: (2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20) / 10 = 110 / 10 = 11 Jahre.
Angenommen, man zieht als Zufallsstichprobe 2 Personen (immerhin 20 %), nämlich die 3. und 5. Person im Alter von 6 und 10 Jahren; dann wäre der Durchschnitt aus der Stichprobe: (6 + 10) / 2 = 16 / 2 = 8 Jahre (3 Jahre vom tatsächlichen Mittelwert der Grundgesamtheit entfernt).

Für die Berechnung des Standardfehlers gilt:

Die Varianz der Stichprobe ist: [ (6 – 8)2 + (10 – 8)2) ] / (2 – 1) = (4 + 4) / 1 = 8.
Die Standardabweichung der Stichprobe ist gleich der Wurzel aus der Varianz = √ 8 (gerundet 2,83).
Der Standardfehler ist: √ 8 / √ 2 = 2.

Größere Stichprobe

Angenommen, man zieht eine größere Stichprobe von 4 Personen, nämlich die 3. und 5. sowie die 8. und 10. Person im Alter von 6 und 10 und 16 und 20 Jahren; dann wäre der Durchschnitt aus der Stichprobe: (6 + 10 + 16 + 20) / 4 = 52 / 4 = 13 Jahre (schon besser; aber immer noch 2 Jahre vom tatsächlichen Mittelwert der Grundgesamtheit entfernt). Extrembeispiel: würde man eine 100%-Stichprobe ziehen, wären natürlich Stichprobenmittelwert und Mittelwert der Grundgesamtheit identisch.

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Da im Nenner der Formel die Wurzel aus dem Stichprobenumfang steht, müsste man z.B. für eine gezielte Halbierung des Standardfehlers den Stichprobenumfang vervierfachen.

Größere Streuung

Angenommen, die 10 Personen streuen weiter bzgl. des Alters: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29 Jahre; in der Grundgesamtheit ist der Mittelwert: (2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23 + 26 + 29) / 10 = 155 / 10 = 15,5 Jahre.

Zieht man als Stichprobe wieder 2 Personen, nämlich wieder die 3. und 5. Person im Alter von 8 und 14 Jahren, dann wäre der Durchschnitt aus der Stichprobe: (8 + 14) / 2 = 22 / 2 = 11 Jahre (und damit 4,5 Jahre vom tatsächlichen Mittelwert der Grundgesamtheit entfernt).

Würden die Daten gar nicht streuen – alle 10 Personen wären gleich alt – wären Standardabweichung und Standardfehler 0.

Der Standardfehler wird bei einer breiteren Streuung der Daten in der Grundgesamtheit größer und bei zunehmendem Stichprobenumfang kleiner.

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