Steigung berechnen – konstante, nicht konstante + Beispiele

Der folgende Artikel behandelt die Grundlagen zum Berechnen von Steigungen. Im Fokus steht dabei die Frage: Was ist eine Steigung und wie berechne ich sie am Beispiel einer linearen Funktion?

Das Thema Steigung kommt meist zu einem Zeitpunkt im schulischen Verlauf, an dem sich schon deutlich sortiert hat, wer noch Hoffnung in Mathematik hat und wer nicht. Aus diesem Grund werden Schüler, die Rückfragen stellen, durch Antworten mit Schlagworten wie Tangente, Steigung und Sekante noch weiter verwirrt. Der folgende Artikel soll ein wenig behutsamer in die Thematik einführen.

Online Rechner für Steigungen

In die obere Zeile gibst du ein, welche Ableitung zu ausgerechnet haben möchtest. ( Die 1., die 2. usw.)
In die zweite Zeile gibst du entweder deine Funktion ein oder eine deinen Ausgangsvariablen wie zum Beispiel “x” oder “x^2” und danach drückst du auf “Submit”. Unten wird dir dann das Ergebnis angezeigt.

Berechnung der konstanten Steigung

In der folgenden Grafik ist eine Funktion eingezeichnet, deren Steigung nun bestimmt werden soll. Das Wort Steigung wird in der Mathematik dabei ähnlich verwendet, wie im alltäglichen Sprachgebrauch. Betrachtet man etwa einen Berg, so spricht man alltäglich von der Steigung. Betrachtet ein Mathematiker den Berg, so könnte er die Steigung des Berges berechnen. Auf die selbe Weise wie er die Steigung von Funktionen berechnet. Erklärungen folgen nach der Grafik:

steigung-berechnen

In dieser Funktion ist die Steigung an jeder Stelle der Funktion identisch. Dies erleichtert die jetzt folgende Berechnung. Zuerst müssen zwei Punkte ausgewählt und ein Steigungsdreieck gebildet werden. Aber Step-by-Step:

  • Zuerst wird ein beliebiger Punkt auf der Geraden gewählt. Beispiel: Punkt 1: x = 6 und y = 3
  • Danach wird ein zweiter beliebiger Punkt ausgesucht. x = 2 und y = 1
  • Dann muss Δy gebildet werden, indem man den Y-Wert von Punkt 2 vom Y-Wert von Punkt 1 subtrahiert: 3 – 1
  • Das Selbe wird für Δx mit den x-Werten wiederholt
  • Die Steigung wird berechnet: Δy : Δx
  • 2 : 4 = 0,5
  • Die Steigung beträgt in diesem Beispiel 0,5

Da die Steigung in diesem Beispiel an jeder Stelle identisch ist, ist die Berechnung simpel. Man spricht hierbei von einer konstanten Steigung. Aufwendiger ist die Berechnung der Steigung bei einer kurvigen Funktion. Wie das funktioniert, wird im nächsten Abschnitt erläutert.

Berechnung der nicht konstanten Steigung

Die Steigung einer linearen Funktion ist an jeder Stelle identisch. Doch was ist, wenn diese Gleichmäßigkeit nicht gegeben ist? Die Berechnung der nicht konstanten Steigung wird anhand von folgendem Beispiel erklärt:

nicht-konstante-steigung

Zuerst muss die Steigung an einem beliebigen Punkt der Funktion berechnet werden. In diesem Beispiel ist es der Punkt x = 2 und y = 1. Auch hier sollte wieder ein Steigungsdreieck eingetragen werden. Das setzt einen zweiten Punkt voraus, der hier bei x = 7 und y = 5,5 liegt. Ist das Dreieck eingezeichnet, so ergeben sich zwei Stellen, an denen die Verbindung beider Punkte die Funktion schneidet. Besagte Verbindung nennt man in diesem Fall Sekante. Mit der Sekante ist es eigentlich möglich die Funktion zu berechnen, aber nicht im Falle einer nicht konstanten Steigung.

Durch die Krümmung der Funktion verläuft die Steigung an verschiedenen Stellen unterschiedlich, so dass der Rechenweg aus dem ersten Beispiel zwar die Steigung an einem beliebigen Punkt kenntlich macht, dies aber nicht für die ganze Funktion gilt. Liegen die beiden Punkte der Berechnung weit auseinander, so erhält man eine ungenaue Steigung. Es empfiehlt sich also einen zweiten Punkt dicht am ersten Punkt auszusuchen. Dieser sollte so nah an den ersten Punkt gesetzt werden, dass sie fast übereinander liegen und die Verbindung der beiden Punkte die Funktion nur noch an einer einzigen Stelle schneidet. So liegt anschließend eine Tangente mit exakter Steigung vor.

Steigungsverhalten durch Differenzialrechnung

Um das Steigungsverhalten einer Funktion zu untersuchen, bietet sich die Differenzialrechnung an. Zu der Thematik der Funktionen und der Steigung gehört auch das Themengebiet der Ableitungen. Wichtig ist, dass die Ableitung einer Funktion stets ihr Steigungsverhalten beinhaltet. Die Ableitungen vereinfachen das Untersuchen von Funktionen und wie das funktioniert, ist in einem anderen Artikel nachlesbar. Es gilt aber, dass f(x)= bzw. y= die Ausgangsfunktion beschreibt, f'(x) bzw. y‘ die erste und f“(x) und y“ die zweite Ableitung darstellen.

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