Stichprobenumfang in Statistik leicht erklärt + Beispiel

Grundlagen des Stichprobenumfangs

Für eine sichere Aussage bzw. hinreichende Ergebnisse bzgl. der Grundgesamtheit, ist eine ausreichende Stichprobengröße bei der Stichprobenerhebung notwendig.
Bezogen auf die Normalverteilung beeinflussen insgesamt drei Faktoren den Stichprobenumfang. Diese sind:

  1. die Standardabweichung der Grundgesamtheit
  2. das angestrebte Konfidenzniveau
  3. die zugelassene Fehlergrenze

Die Berechnung des Stichprobenumfangs wird am folgenden Beispiel erläutert:
Für ein Experiment soll die Durchschnittsgröße, aller weiblicher Bewohner einer Stadt, anhand einer Zufallsstichprobe, bestimmt werden.

Die Fehlergrenze beträgt 1 cm, das Konfidenzniveau soll 95 % betragen und auf Grund vergleichbarer Experimente und Untersuchungen anderer Städte, wird die Standardabweichung der Normalverteilung bezüglich der Körpergröße weiblicher Bewohner auf 2 cm festgelegt. Nun stellt sich die Frage, wie groß die Stichprobe sein muss. Aus den genannten Werten ergibt sich folgende Formel für den Stichprobenumfang:

Stichprobenumfang >= [(1,96 × 2,0) / 1,0]2 = 15,37 = 16 (immer aufgerundet).
Dabei ist 1,96 der z-Wert, der sich für das angestrebte Konfidenzniveau von 95 % aus der Standardnormalverteilung ergibt, 2,0 (cm) ist die Standardabweichung und 1,0 (cm) ist die Fehlergrenze.

Somit ergibt sich ein Stichprobenumfang von Minimum 16 Teilnehmern. Durch Addition der 16 Körpergrößen und anschließender Division durch die Gesamtzahl der Messungen, in diesem Fall 16, ergibt sich ein Mittelwert, beispielsweise 1,75 m. Wenn man die Fehlergrenze und das Konfidenzniveau berücksichtigt ergibt sich folgende Aussage:

Mit einer 95%-Wahrscheinlichkeit beträgt die durchschnittliche Körpergröße der weiblichen Bewohner 175 cm +/-1 cm. Sie liegt also in einem Intervall zwischen 179 und 181 cm.
Da die Formal eine Quadrierung aufweist, wirken sich Parameteränderungen überproportional auf das Ergebnis aus. Eine Verdoppelung der Standardabweichung von 2 auf 4 cm würde demnach den Stichprobenumfang auf 62 fast vervierfachen. Das gleich gilt, wenn man die Fehlergrenze halbieren würde und diese 0,5 anstatt 1,0 cm betragen würde.

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