Symmetrie zum Ursprung berechnen – Beispiel, Formel & Video

In dem folgenden Text wird erklärt was die Symmetrie zum Ursprung ist und anhand von Beispielen gezeigt. Ebenfalls wird gezeigt wie man dies berechnet.

Zu Beginn eine kurze Definition. Eine Funktion f(x) mit einem symmetrischen Definitionsbereich D ist ungerade, wenn jedes x Element von D folgende Bedingung erfüllt: f(-x) = -f(x). Weiterhin ist die Funktion hier punktsymmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems. In der folgenden Grafik sieht man die Funktion f(x)=x³. Nun wählen wir uns einen Punkt aus, welcher auf der Funktion liegt. Dieser Punkt wird am Koordinatenursprung gespiegelt. Somit kriegen wir einen weiteren Punkt, welcher ebenfalls auf der Funktion liegt. Daher haben wir also eine Symmetrie zum Ursprung. Das folgende Video stellt dies erneut da:

Es ist aber oftmals zu kompliziert und zu zeitaufwendig eine Funktion zu zeichnen, um festzustellen, ob eine Symmetrie zum Ursprung vorliegt. Daher wird im folgenden erklärt wie man dies rechnerisch herausfindet.

Berechnung der Symmetrie zum Ursprung

Zur Berechnung setzt man f(-x)= -f(x) gleich und guckt, ob dann diese Gleichung stimmt. Wenn dies stimmt haben wir eine ungerade Funktion, die symmetrisch zum Ursprung ist. In den folgenden Beispielen wird dies noch einmal erklärt.

Beispiel 1

Eine Funktion mit der Gleichung: f(x)=x³ wird darauf untersucht, ob diese punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Dazu wird zuerst f(-x) sowie -f(x) berechnet. Diese werden dann gleichgesetzt. Wenn diese Gleichung stimmt, dann ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung.

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Beispiel 2

Eine Funktion f(x)=-3x³+2x wird darauf untersucht, ob diese eine Punktsymmetrie zum Ursprung aufweisen. Hierfür wird nun wieder f(-x) sowie -f(x) berechnet, Dann setzt man diese wieder gleich und schaut, ob die Gleichung richtig ist. Ist dies der Fall, dann liegt auch hier eine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.

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Beispiel 3

Eine Funktion f(x)= x²+x wird auf eine Punktsymmetrie zum Ursprung untersucht. Auch hier werden zuerst f(-x) sowie -f(x) berechnet. Danach werden diese wieder gleichgesetzt und man überprüft die Richtigkeit. Wenn diese also stimmt dann ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung.

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