Übersicht der Differentiationsregeln – leichte Erklärung, Beispiele, Formeln

In dem Artikel geht es um das Thema: „Differentiationsregel“. Falls dir der Begriff nichts sagt, solltest du unbedingt den Text weiterlesen. Dort erfährst du alles über die Differentiationsregel.

Es gibt in der Mathematik sehr viele verschiedene Differentiationsregeln. Welche es genau gibt, siehst du hier:

  • – Faktorregel
  • – Potenzregel
  • – Summenregel
  • – Produktregel
  • – Quotientenregel
  • – Kettenregel

Meistens braucht man die Differentiationsregel in der Oberstufe oder im Studium.

Differentiationsregeln: Faktorregel + Potenzregel

Als aller erstes erkläre ich euch die Faktorregel und die Potenzregel. Dabei sollst du bestimmte Funktionen/Gleichungen wie zum Beispiel die Gleichungen f(x) = y = x⁴,
f(x) = y = 3x² und f(x) = y = 5x ableiten. Hierbei leitest du y = xᵑ von
y = n * x^(n-1).

Hier siehst du der Reihe nach wie du die Faktorregel und die Potenzregel genau anwendest.

  • – du sollst die Aufgabe in die Form y = … aufschreiben
  • – darunter schreibst du y hoch 1 =
  • – schreibe die Hochzahl von x hinter y hoch 1 =
  • – als nächstes schreibst du x hin
  • – die Hochzahl reduzierst du dann um eins
  • – und zum Schluss bleibt der Faktor erhalten

Damit du dies auch besser verstehst, erkläre ich euch das anhand von einem Beispiel.

y = f(x)

y‘ = f'(x)

x2

2x

x3

3x2

x4

4x3

2x3

2 · 3 · x2 = 6x2

5x6

5 · 6 · x5 = 30x5

14 · x2

14 · 2 · x1 = 28x

4x10

4 · 10 · x9 = 40x9

5x

5 · x0 = 5

5

0

Summenregel

Jetzt erkläre ich euch was die Summenregel ist. Bei der Summenregel darf man jede Summe ableiten. Wie das genau aussieht, siehst du anhand von dem Beispiel.

y = f(x)

y‘ = f'(x)

x2 + x2

2x + 2x

3x + 2x3

3 + 2 · 3 · x2

5x2 + 10x3

5 · 2x + 10 · 3x2

3x2 + 2x3 + 4x3

3 · 2x + 2 · 3x2 + 4 · 3x2

 

Produktregel

Jetzt geht es um die Produktregel. Diese kannst du ableiten, wie der Name schon sagt, wenn du ein Produkt ableiten sollst. Anders als bei der Faktorregel oder Summenregel brauchst du hier eine bestimmte Formel.

Ausführliche Schreibweise

differentiationsregel

Kurzschreibwiese

differentiationsregel1

Um eine Gleichung ableiten zu können, musst du einen Teil als u und den anderen Teil als v bezeichnen. Dann kannst du einen bestimmten Teil ableiten und in die Gleichung y‘ einsetzen.
Zum besseren Verständnis folgen hier nun 2 Beispiele.

1.

differentiationsregel-bespiel

2.

differentiationsregel-bespiel2

Quotientenregel

Die Quotientenregel wird benötigt, wenn du einen Bruch ableiten möchtest. Auch hier brauchst du eine bestimmte Formel. Wie die genau aussieht, siehst du hier.

Ausführliche Schreibweise

differentiationsregel-quotientenregel

Kurzschreibweise

differentiationsregel-quotientenregel2

Dabei musst du beachten, dass du den Zähler u und den Nenner v setzt. Hier folgen nun wieder ein paar Beispiele.

1.

differentiationsregel-quotientenregel3

2.

differentiationsregel-quotientenregel4

Kettenregel

Die Kettenregel musst du zum Beispiel bei der Gleichung y = sin(5x – 8) einsetzten. Hier folgen wieder 3 Aufgaben.

1.

y = ( 3x – 2 )⁸

– Substitution: u = 3x – 2
– Äußere Funktion = u⁶
– Äußere Ableitung = 8u⁷
– Innere Funktion = 3x -2
– Innere Ableitung = 3
– y‘ = 8u⁷ · 3 = 24u⁷
– mit u = 3x – 2 => y‘ = 24 ( 3x – 2 )⁷

2.

y = 2 · sin ( 3x )

– Substitution: u = 3x
– Äußere Funktion = 2 · sin(u)
– Äußere Ableitung = 2 · cos(u)
– Innere Funktion = 3x
– Innere Ableitung = 3
– y‘ = 3 · 2 · cos(u)
– y‘ = 6 · cos(3x)

3.

y = e^(4x+2)

•Substitution: u = 4x + 2
•Äußere Funktion = eᶹ
•Äußere Ableitung = eᶹ
•Innere Funktion = 4x + 2
•Innere Ableitung = 4
•y‘ = eᶹ· 4
•y‘ = e^(4x+2) · 4

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