Varianz berechnen: Formel, Beispiel, Tipps & Video

Dieser Text beschäftigt sich damit, was eine Varianz ist und wie man diese berechnen kann. Wir berechnen für euch auch ausführlich eine Aufgabe als Beispiel, so dass es euch leichter fällt unseren Inhalt nachvollziehen zu können.

Der Begriff Varianz ist ein Ausdruck aus dem Bereich der Wahrscheinlichkeitsrechnung o. Stochastik, bzw. aus der Statistik. Was nützt uns nun die Varianz? Die Varianz gibt an, wie hoch die „mittlere quadratische Abweichung“ der verschiedenen Ergebnisse um deren Mittelwert an. Ein Beispiel hierzu wird euch dies weiter unten deutlich machen. Vorher müsst ihr folgendes Wissen:

Um eine Varianz zu ermitteln, müsst ihr als erstes den Durchschnittswert ermitteln, also das arithmetische Mittel, so nennt man das. Den Durchschnittswert ermittelt man indem man mehrere Werte Addiert und die Summe durch die Anzahl der Werte teilt. Dies benötigt man im wahren Leben zum Beispiel für die Vergleichbarkeit der Leistungen verschiedener Mitarbeiter eines Unternehmens.

Man kann übrigens auch die Varianz dazu nutzen um die Standardabweichung zu ermitteln.

Hier die einzelnen Rechenschritte zur Ermittlung der Varianz:

  • Erster Schritt: Berechnet den Durchschnitt.
  • Zweiter Schritt: Berechnet die Varianz.
  • Dritter Schritt: Wenn ihr möchtet, könnt ihr noch die Standardabweichung errechnen.

Die ersten beiden Schritte arbeiten wir nun für euch nun einmal ab.

Beispiel zur Berechnung der Varianz:

Nadine schreibt sich 5 Tage lang auf, wieviele Kekse sie am Tag verdrückt. Am Montag waren es 8 Kekse, am Dienstag waren es 7 Kekse, am Mittwoch 9 Kekse und am Donnerstag 10 Kekse und am Freitag dann 6 Kekse. Wie hoch ist die Varianz?

Die Lösung: Wenden wir also unseren Ablaufplan von oben an um die Aufgabe zu lösen.

Erster Schritt: Zuerst gilt es den Durchschnittswert zu errechnen. Also addieren wir die Anzahl aller Kekse, welche Nadine unter der Woche verspeist hat und teilen das Ergebnis (40 Kekse) durch die Anzahl der Tage (5 Tage).

varianz-berechnen

Nun wissen wir, dass Nadine durchschnittlich 8 Kekse pro Tag verdrückt hat.

Zweiter Schritt: Nun müssen wir die Varianz berechnen, dies können wir nun mit dem berechneten Durchschnittswert. Da die Varianz die „mittlere quadratische Abweichung“ darstellt müssen wir folgendermaßen vorgehen. Wir schreiben über den Bruchstrich wieder die 5 Kekswerte der 5 Tage, 8, 7..usw. und und subtrahieren von jedem einzelnen Wert den Durchschnittswert 8 und setzten dies in Klammern. Und das Ergebnis wird jeweils quadriert und diese 5 Terme werden addiert. Unter den Bruchstrich schreiben wir wieder die Anzahl der Tage also 5.

Dann lösen wir den Bruch auf. Schaut euch die folgende Grafik an, dann erscheint euch der Rechenweg weniger verwirrend.

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Wir haben nun ermittelt, dass die mittlere quadratische Varianz 2 beträgt.

Wie die Varianz und die Standardabweichung zusammenhängt könnt ihr euch HIER (ich nehme an das möchten Sie so verlinken, sonst wäre das ja doppeltgemoppelt, lieber Kunde) anschauen.

Ein Beispiel

Um zu veranschaulichen, wie die Varianz berechnet und ermittelt wird, wird ein Beispiel verwendet. Die Ausgangssituation ist die einer Familie, welche, wie in dem ersten Beispiel der mittleren absoluten Abweichung, fünf Kinder hat. Diese fünf Kinder befinden sich jeweils in dem Alter von 1, 3, 5, 9 und 12 Jahren.

Um die Varianz berechnen und messen zu können, muss, wie bei der mittleren absoluten Abweichung, zunächst einmal der arithmetische Mittelwert berechnet werden. Die dafür verwendete Formel ist hierbei wieder die selbe, weshalb bei der Formel (1 + 3 + 5 + 9 + 12)/5 als Ergebnis auch wieder der arithmetische Mittelwert 6 rauskommt.

Mit diesem Wert, kann man dann die Varianz ausrechnen. Die Formel der Varianz beinhaltet es, dass der berechnete arithmetische Mittelwert zunächst einmal von jedem einzelnen Alter der fünf Kinder der Familie abgezogen wird. Jedes einzelne Ergebnis muss dann ins Quadrat gesetzt werden, um die Ergebnisse anschließend miteinander addieren zu können. Die addierten Zahlen ergeben, dividiert durch fünf, was die Anzahl der Kinder entspricht, die Zahl 16. Für das Beispiel sieht die angewandte Formel für die Berechnung der Varianz so aus: σ2 = ((1-6)2 + (3-6)2 + (5-6)2 + (9-6)2 + (12-6)2)/5 = (25 + 9 + 1 + 9 + 36) / 5 = 80/5 = 16.

Allgemein kann die Formel für die Berechnung der Varianz so erklärt werden:
Die Abweichungen aller Werte vom arithmetischen Mittelwert werden quadriert, anschließend aufsummiert und zu guter letzt durch die Anzahl der Merkmalsträger dividiert. Mathematisch veranschaulicht bedeute dies für die Formel für die Berechnung der Varianz folgendes: ∑ [xi – ∅]2 / n
xi steht dabei für Messwerte von i = 1 bis n und n für die Anzahl der Merkmalsträger / Messwerte.

Eine Alternative

Um die Varianz berechnen zu können, gibt es jedoch noch eine weitere, alternative Formel, welche man anwenden kann. Für das Beispiel lautet diese bildlich veranschaulicht folgendes: σ2 = (12 + 32 + 52 + 92 + 122)/5 – 62 = (1 + 9 + 25 + 81 + 144) / 5 – 36 = 260/5 – 36 = 52 – 36 = 16.

In Worten erklärt, passiert in dieser alternativen Formel folgendes:
Zunächst einmal werden die einzelnen Werte, welche in dem Beispiel die einzelnen Alter der Kinder sind, quadriert und aufsummiert. Die Summe wird anschließend durch die Anzahl der Werte dividiert. Der zuvor ausgerechnete arithmetische Mittelwert wird dann quadriert und von der Summe abgezogen. Das Ergebnis ist dabei das selbe, wie in der ersten Formel.

Diese alternative Formel für die Berechnung der Varianz ist einfacher zu rechnen, was an der Tatsache liegt, dass nicht die einzelnen Differenzen berechnet werden müssen.

Die Aussagefähigkeit der Varianz

Zwar wird die Varianz berechnet und es kommt durch die Formel auch ein Ergebnis raus, doch dieses ist nicht besonders aussagekräftig. Grund dafür ist, dass bei der Varianz lediglich die Jahre bzw. die jeweiligen Differenzen zwischen den Jahren quadriert werden.

Dadurch ist die Varianz nicht nur nicht besonders aussagekräftig, sondern gleichzeitig auch sehr schwer interpretierbar.
In dem Beispiel beträgt die Varianz 16, welche bei Werten von 1 bis 12 greift.

Aussagekräftiger ist die Standardabweichung welche sich an Hand der Varianz berechnen und bestimmen lässt.

Nachteile der Varianz

Ein Nachteil der Varianz ist jener, dass das Endergebnis nicht besonders auf Ausreißer abgestimmt ist, da jeweils die Abstände quadriert werden. Das bedeutet für das oben genannte Beispiel im Klartext, dass sich die Varianz, wenn noch ein weiteres Kind in der Familie wäre, sehr stark verändern würde. Wenn sich in der Familie aus dem Beispiel noch ein sechstes Kind befinden würde, welches 24 Jahre alt ist, dann würde dieses die Formel und somit auch das Ergebnis stark verändern. Veranschaulicht bedeutet das für die Varianz folgendes:

Zunächst einmal würde sich der arithmetische Mittelwert verändern, da sich eine Zahl zu der Aufsummierung gesellt und das Ergebnis dieser Summierung der einzelnen Alter der Kinder durch sechs geteilt werden muss, da die Familie sechs Kinder hat. So kommt bei der Formel für den arithmetischen Mittelwert nicht mehr 6, sondern durch (1 + 3 + 5 + 9 + 12 + 24) / 6 = 54 / 6 das Ergebnis 9 raus.

Dementsprechend muss in der Formel für die Berechnung der Varianz mit dem arithmetischen Mittelwert 9 gerechnet werden. ((1-9)2 + (3-9)2) + (5-9)2 + (9-9)2 + (12-9)2 + (24-9)2)/6 = (64 + 36 + 16 + 0 + 9 + 225) / 6 = 350 / 6 ergibt in diesem Fall einen deutlich höheren Wert von 58,33. Diese Varianz entspricht nahezu dem Vierfachen der obigen Varianz, welche bei den fünf Kindern der Familie einen Wert von 16 hatte.

Der Ist-Zustand und weitere Anwendungsbereiche

In dem oben genannten Beispiel wurde durch die Anwendung der Formel der aktuelle Ist-Zustand berechnet. Die Varianz kann jedoch nicht nur berechnet werden, um den Ist-Zustand einer Sache zu bestimmen, sondern kann auch für andere Gegebenheiten und Umstände angewandt werden.

So kann man die Varianz auch für Daten berechnen, welche sich in einem Zeitablauf befinden. Solche Daten können zum Beispiel eine jährliche oder monatliche Absatzmenge oder auch Umsätze sein. In diesen Fällen ist die berechnete Varianz dann ein Maß, um die jährlichen bzw. die monatlichen Schwankungen berechnen und bestimmen zu können.

Alternative Begriffe

Alternative Begriffe, welche für die Varianz verwendet werden und hinter welchen sich genau dasselbe verbirgt, sind neben der empirischen Varianz, die mittlere quadratische Abweichung auch die Stichprobenvarianz.

Stichprobenvarianz (Empirische Varianz)

In dem Beispiel, welches oben genannt und aufgezeigt wurde, wurden alle Kinder in die Rechnung mit einbezogen. Diesen Vorgang nennt man in der Fachsprache Vollerhebung. Es gibt jedoch auch die Möglichkeit nicht nur eine Vollerhebung zu machen, sondern, man kann auch lediglich eine Stichprobe nehmen. Wenn man die Stichprobe machen möchte, dann nimmt man nicht, wie im oberen Beispiel alle Kinder, um diese dann durch das zusammengezählten Alter zu teilen, sondern man zählt das Alter der Kinder für die Stichprobe zusammen und teilt dann nicht, wie oben, durch die Anzahl der Erfassten, sondern durch die Anzahl der Erfassten minus eins.

Man kann also sagen, dass sich die empirische Varianz von der Varianz im ersten Beispiel dadurch abgrenzt, dass es sich bei der Varianz im ersten Beispiel um die Grundgesamtheit und nicht um eine Stichprobe handelt. Deshalb kann die empirische Varianz auch nicht, wie die Varianz für die Grundgesamtheit bezeichnet werden und wird deshalb in einer Formel auch mit s2 abgekürzt.
Das bedeutet für die Formel folgendes: s2 = 80/(5-1) = 80 / 4 = 20.

Varianz als Maßeinheit für Risiko

Wenn man die Varianz berechnen möchte, dann kann man dies mit unterschiedlichen Zielen tun. So kann man durch die Varianz nicht nur Stichproben nehmen sondern unter anderem auch die Streuung messen und angeben. Neben diesen Möglichkeiten gibt es noch die weitere Möglichkeit, die Varianz dafür zu verwenden, ein bestimmtes Risiko zu berechnen und bestimmen zu können. Deshalb wird die Berechnung der Varianz unter anderem auch in dem Bereich der Wertpapieranalyse eingesetzt.
In diesem Bereich wird die Varianz dafür verwendet, wenn man zum Beispiel für eine Aktie die jährlichen Börsenkursänderungen, die durchschnittliche Kursänderung pro Jahr, oder auch die Kursänderung für die letzten 10 Jahre berechnen möchte.

Um die Ergebnisse der Varianz anschließend gut interpretieren zu können, muss der Wert, welcher nach der Berechnung rauskommt, gut und richtig interpretiert werden.
Je höher der Wert der Varianz ist, welcher bei den Berechnungen rauskommt ist, desto mehr schwankt auch der Aktienkurs. Je mehr der Aktienkurs schwankt, desto höher ist auch das Risiko, mit welchem sich der Anleger auseinander setzen muss.

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