Wahrscheinlichkeitsrechnung leicht erklärt – Formeln, Beispiele, + Video

Bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung handelt es sich um einen Bereich in der Mathematik, der auch als Stochastik bezeichnet wird. Tatsächlich ist dieses für Schüler eines der schlimmsten Fachbereiche in der Mathematik. Im Folgenden wird ein Überblick über die Wahrscheinlichkeitsrechnung vermittelt und die wichtigsten Themen kurz erläutert.

Im Bereich der Mathematik bemisst die Stochastik ein sehr umfangreiches Kapitel. Aus diesem Grund wird die Wahrscheinlichkeitsrechnung im Folgenden in unterschiedliche Themen eingeteilt. Als wichtigste Grundlage zum Verständnis werden zunächst einige Grundbegriffe und deren Bedeutung geklärt. Danach wird sich unter anderem Themen wie dem Binomialkoeffizient oder auch dem Urnenmodell zugewandt. Sie werden auch Begrifflichkeiten wie Augenzahl, Ereignismenge und einige mehr kennenlernen. Um das jeweils Erlernte anzuwenden und zu üben, gibt es nach einigen Kapiteln ein paar Aufgaben mit Lösungen.

Der Ereignisbaum in der Stochastik

Das trifft wohl nicht nur die Lotto-Spieler – viele Menschen möchten Ereignisse gerne vorhersagen (können). An anderes Beispiel aus dem Alltag: die Frage nach „Kopf oder Zahl?“, wenn eine Münze über etwas Bestimmtes entscheiden soll und geworfen wird. Selbstverständlich weiß man nicht, auf welcher Seite die Münze am Ende ihrer Drehungen landen wird. Aber: Man kann mit einer Wahrscheinlichkeit voraussagen, auf welcher Seite sie landen wird. Die Münze verfügt über zwei Seiten: einmal Kopf und einmal Zahl. Damit liegt die Wahrscheinlichkeit für den Kopf bei ½, ebenso ½ für die Zahl. Und genau daraus ergibt sich der Ereignisbaum in der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Bleiben wir bei dem Beispiel mit der Münze und den zwei Möglichkeiten, auf welche Seite sie fallen kann. Dementsprechend gibt es auch zwei Pfade, die wir einzeichnen können. Das bedeutet zugleich, dass die Wahrscheinlichkeit sowohl für den Kopf als auch für die Zahl bei ½ liegt. Diesen Wert tragen wir an dem Pfad zum Kopf und an dem zur Zahl ein. So sieht das Ganze dann aus:

wahrscheinlichkeitsrechnung-ereignisbaum

Alle Möglichkeiten, die hier in unserem Beispiel existieren, können zusammengefasst werden. Diese Summe nennt sich Ergebnismenge „M“. Im vorliegenden Fall wäre M = Kopf, Zahl. Selbstverständlich interessiert neben der Wahrscheinlichkeitsberechnung viel mehr, was bei einem realen Experiment passiert. Schaut euch hierzu die nachfolgende Übersicht einmal an. Die Erklärungen dazu folgen.
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung mit Hilfe der Laplace Regel

Bevor wir zu einem anderen Themenbereich der Stochastik kommen, müssen wir zunächst den Begriff des Zufallexperiments klären. Bei einem Zufallsexperiment handelt es sich um einen Vorgang, der mindestens zwei Ergebnisse/Ereignisse zur Folge hat. Zudem kann man das Ergebnis nicht vorhersehen. Ein Beispiel zum besseren Verständnis gefällig? Man nehme einen Würfel und wirft diesen. Bevor der Würfel geworfen wird, kann man nicht vorhersagen, auf welcher Seite er letztendlich landen wird. Aus diesem Grund ist es nicht verwunderlich, dass das Zufallsexperiment ein Gebiet der Stochastik ist.

Bei dem Laplace Experiment handelt es sich um ein Zufallsexperiment, bei dem jede Möglichkeit des Ausgangs des Versuchs die gleiche Wahrscheinlichkeit hat wie die anderen Möglichkeiten. Man könnte sie als „gleichwahrscheinlich“ bezeichnen.

Beispiele für das Laplace Experiment

Und woran kann man nun erkennen, ob es sich um ein Laplace Experiment handelt? Tatsächlich kann man diese Frage nicht pauschal beantworten. In einigen Fällen erfordert es Vorkenntnisse auf dem Gebiet. Hier ein paar Beispiele:

  • – Ein herkömmlicher Würfel verfügt über sechs Seiten. Ausgehend davon, dass an dem Würfel nichts verändert worden ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit die Ziffer 1 zu würfeln genauso viel, wie die Wahrscheinlichkeit die Ziffer 6 zu würfeln. Hierbei handelt es sich also um einen Laplace Versuch.
  • – Nehmen wir unser Eingangsbeispiel: Eine Münze verfügt über zwei Seiten – Kopf und Zahl. Gehen wir erneut davon aus, dass die Münze nicht irgendwie verändert worden ist, so ist die Wahrscheinlichkeit, Kopf zu werfen genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit, Zahl zu werfen. Auch hier handelt es sich um ein Laplace Experiment.
  • – Wir werden etwas sportlicher: Bei einem Pferderennen laufen 10 Reiter auf 10 Pferden um den Sieg. Da sich die Teilnehmer jedoch in ihren Fähigkeiten stark voneinander unterscheiden, ist die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen bei jedem Teilnehmer verschieden. Es liegt kein Laplace Experiment vor.

Wenn man es mit etwas Abstand betrachtet, gelingt einem eine Lösung meist unter Einsatz des gesunden Menschenverstands. Erscheint die Wahrscheinlichkeit des Eintritts einer Möglichkeit nicht anders als die Wahrscheinlichkeit einer anderen, so kann man zunächst ruhig erst einmal davon ausgehen, dass es sich um ein Laplace Experiment handelt.

Der Binomialkoeffizient

Bei dem Binomialkoeffizienten handelt es sich um eine mathematische Funktion in der Stochastik, mit welcher sich die Lösung einer Grundaufgabe im Bereich der Kombinatorik finden lässt. Er gibt an, auf wie viele unterschiedliche Arten man die Objekte „k“ aus einer Menge von „n“ verschiedenen Objekten auswählen kann. Die Durchführung des Versuchs erfolgt ohne die Beachtung der Reihenfolge und ohne Zurücklegen.

Den Binomialkoeffizienten berechnen

An dieser Stelle wollen wir uns einmal die Schreibweise und die Berechnung des Binomialkoeffizienten näher ansehen. Als Grundlage hierfür benötigt ihr Wissen zur Berechnung der Fakultät. Nachfolgend findet ihr die Schreibweise nebst Berechnung. Erklärungen folgen.

Binomialkoeffizient Formel

Ausführungen: Die Kurzschreibweise zum Binomialkoeffizient findet ihr unten links. Man spricht es so: „n über k“. Unten rechts sehr ihr die Berechnung als Bruch. Nachfolgende Beispiele verdeutlichen dies:

Binomialkoeffizient Beispiel
Zufallsexperimente in der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Um sich Zufallsexperimenten näher zuwenden zu können, müssen diese zunächst definiert werden: Bei einem Zufallsexperiment handelt es sich um einen Vorgang, der mindestens zwei Ergebnisse ermöglicht. Zudem kann man vor dem Durchlauf des Experimentes nicht vorhersagen, wie das Ergebnis aussehen wird. Ein Beispiel: das Werfen eines Würfels. Man kann in keinem Fall vorhersagen, auf welcher Seite der Würfel landen wird, bevor der Wurf ausgeführt wird.

Das einstufige Zufallsexperiment

Hinter dieser Bezeichnung verbirgt sich ein Zufallsexperiment des Bereiches der Wahrscheinlichkeitsrechnung, das lediglich ein einziges Mal durchgeführt wird. Hier ein paar einfache Beispiele:

  • Ein Würfel wird lediglich einmal geworfen.
  • Eine Münze wird lediglich einmal geworfen.

Aber entspricht ein Versuch der Realität? Tatsächlich wird es zumeist notwendig sein, mehr als lediglich einen Versuch auszuführen. Nehmen wir das Beispiel des herkömmlichen Würfels bestehend aus sechs Seiten. Würfelt man ihn einmal, könnte die Zahl 4 gewürfelt werden. Man könnte nach diesem einen Versuch glauben, dass ständig die Zahl 4 gewürfelt wird, wenn man den Würfel wirft. Daher ist es nicht verwunderlich, dass die Aussagekraft einstufiger Zufallsexperimente vergleichsweise gering ist. Aus diesem Grund wird im Nachfolgenden auf den mehrstufigen Zufallsversuch näher eingegangen.

Das mehrstufige Zufallsexperiment

Nutz man die Bezeichnung „mehrstufiges Zufallsexperiment“, so bezeichnet dies einen zufälligen Vorgang, der mehrfach hintereinander ausgeführt wird. Bleiben wir beim dem Würfel: In einem mehrstufigen Zufallsexperiment wird dieser mehrmals hintereinander geworfen. Wenn ein entsprechender Versuch aus k-Teilversuchen besteht, bezeichnet man es als k-stufigen Experiment. Der Ausgang dieses Experiments bezeichnet man als Ergebnis. Bei der Ergebnismenge handelt es sich um alle möglichen Ergebnisse dieses mehrstufigen Zufallexperiments.

Das Urnenmodell der Stochastik

Das Urnenmodell in der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist ein „Kasten“, in welchem sich Kugeln befinden. Hieraus werden – ohne, dass man einen Blick hineinwirft – Kugeln herausgenommen. Die auf ihnen befindliche Ziffer wird dann notiert. Dabei erfolgt eine Unterscheidung zwischen zwei verschiedenen Versuchen:

  • – Zum einen gibt es das Urnenmodell, bei dem eine Zurücklegung erfolgt: Aus der Urne wird eine Kugel herausgenommen, die Nummer aufgeschrieben und die Kugel dann wieder zurück in die Urne gelegt. Dies hat zur Folge, dass die Anzahl an Kugeln, die sich in der Urne befinden, stets gleich bleibt.
    +- Zum anderen gibt es das Urnenmodell, bei dem keine Zurücklegung erfolgt: Aus der Urne wird eine Kugel herausgenommen, die Nummer aufgeschrieben und anschließend beiseite und nicht wieder in die Urne zurückgelegt. Dies hat zur Folge, dass sich die Anzahl der in der Urne befindlichen Kugeln mit jedem Zug reduziert.

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