Was ist der Satz von Bayes? – Erklärung & Beispiel

Was ist der Satz von Bayes

Definition

Die Basis des Satzes von Bayer bilden bedingte Wahrscheinlichkeiten und so ist es möglich gewisse Rückschlüsse zu ziehen. Wenn nämlich die bedingte Wahrscheinlichkeit P (B | A) bekannt ist, dann ist es möglich mit der Bayesformel die Wahrscheinlichkeit für P (A | B) zu berechnen und somit ist es möglich Fragestellungen umzudrehen.

Formel:

P (A | B) = [P (B | A) × P(A)] / P(B)

Beispiel Werk:

In zwei Werken eines Unternehmens werden zwei gleiche Produkte hergestellt. Da das Werk A größer ist, werden dort 70% der gesamten Produkte hergestellt. In diesem Werk liegt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Produkt defekt ist bei 10%.

In Werk B werden die restlichen 30% hergestellt und hier ist die Wahrscheinlichkeit für ein defektes Produkt mit 20% doppelt so hoch als in Werk A.

Fragestellung:

Ein Kunde hat eines der Produkte reklamiert. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Produkt aus Werk A stammt?

Um diese Antwort geben zu können, kann die Formel von Bayes behilflich sein.

A: Produkt kommt aus Werk A
B: Produkt ist defekt.

P (A | B) = (0,1 × 0,7) / (0,7 × 0,1 + 0,3 × 0,2) = 0,07 / (0,07 + 0,06) = 0,07 / 0,13 = 0,5385 (d.h. knapp 54 %).

Hierbei ist 0,1 die Wahrscheinlichkeit für einen Defekt in Werk A und 0,7 ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Produkt aus Werk A kommt, denn dort wird ja mehr produziert. o,3 ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Produkt aus Werk B kommt und 0,2 die Wahrscheinlichkeit, dass ein Produkt aus Werk B defekt ist.

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