Was ist der Satz von Bayes? – Erklärung & Beispiel

Definition

Die Basis des Satzes von Bayer bilden bedingte Wahrscheinlichkeiten und so ist es möglich gewisse Rückschlüsse zu ziehen. Wenn nämlich die bedingte Wahrscheinlichkeit P (B | A) bekannt ist, dann ist es möglich mit der Bayesformel die Wahrscheinlichkeit für P (A | B) zu berechnen und somit ist es möglich Fragestellungen umzudrehen.

Formel:

P (A | B) = [P (B | A) × P(A)] / P(B)

Beispiel Werk:

In zwei Werken eines Unternehmens werden zwei gleiche Produkte hergestellt. Da das Werk A größer ist, werden dort 70% der gesamten Produkte hergestellt. In diesem Werk liegt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Produkt defekt ist bei 10%. In Werk B werden die restlichen 30% hergestellt und hier ist die Wahrscheinlichkeit für ein defektes Produkt mit 20% doppelt so hoch als in Werk A.

Fragestellung:

Ein Kunde hat eines der Produkte reklamiert. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Produkt aus Werk A stammt?

Um diese Antwort geben zu können, kann die Formel von Bayes behilflich sein.

A:Produkt kommt aus Werk A
B: Produkt ist defekt.

P (A | B) = (0,1 × 0,7) / (0,7 × 0,1 + 0,3 × 0,2) = 0,07 / (0,07 + 0,06) = 0,07 / 0,13 = 0,5385 (d.h. knapp 54 %).

Hierbei ist 0,1 die Wahrscheinlichkeit für einen Defekt in Werk A und 0,7 ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Produkt aus Werk A kommt, denn dort wird ja mehr produziert. o,3 ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Produkt aus Werk B kommt und 0,2 die Wahrscheinlichkeit, dass ein Produkt aus Werk B defekt ist.

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