Was ist ein Verschiebungssatz? – Erklärung & Beispiel

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Es gibt nicht nur diese eine, oben aufgezeigte Möglichkeit, um die Varianz berechnen und bestimmen zu können, sondern es gibt noch eine weitere, alternative Möglichkeit, um die Varianz zu bestimmen. Diese Alternative zu der oben genannten Formel, ist der sogenannte Verschiebungssatz.

Der Verschiebungssatz besagt folgendes, um die Varianz berechnen zu können: um die Varianz berechnen zu können, muss man zunächst einmal den Erwartungswert der quadrierten Variablen ausrechnen und von diesem Ergebnis dann den quadrierten Erwartungswert der Variablen abziehen.
Der Erwartungswert kann in diesem Fall, um es so einfach wie möglich zu machen, der Durchschnittswert, bzw. der arithmetischen Mittelwert sein.

Ein Beispiel

Hier wird ein Beispiel aufgezeigt, an Hand welchem man sehr gut und einfach erkennen kann, wie die Varianz mit dem Verschiebungssatz berechnet wird.

Zur Erinnerung: der Ausgangspunkt für das Beispiel, ist immer noch das Beispiel der Familie mit den fünf Kindern, welche sich in dem Alter von 1, 3, 5, 9 und 12 Jahren befinden. Der arithmetische Mittelwert war in diesen Beispiel 16, welcher auch für dieses Beispiel verwendet wird.
Die fünf Kinder bilden mit jedem einzelnen Alter eine Gesamtheit von 100 Prozent.

Das bedeutet gleichzeitig auch, dass jedes einzelne der fünf Kinder einen Anteil von 0,2 an der Gesamtheit 1 hat. Das entspricht für jedes einzelne Kind eine Wahrscheinlichkeit von 20 Prozent.

Wenn die Variablen quadriert wurden, dann ist der dementsprechende Erwartungswert / Durchschnittswert dieser der folgende: 12 × 0,2 + 32 × 0,2 + 52 × 0,2 + 92 × 0,2 + 122 × 0,2 = 0,2 + 1,8 + 5 + 16, 2 + 28,8 = 52.
Nach dem Verschiebungssatz ist die Varianz dann 52 – 62 = 52 – 36 = 16.
Dieses Ergebnis entspricht dann der Varianz, welche direkt ermittelt wurde.

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