Was ist eine Planfigur in Mathe? Aufklärung

Was ist eine Planfigur in Mathe

Definition Planfigur in Mathe

Eine Planfigur in Mathe ist eine zeichnerische Darstellung eines Dreiecks. Ein Dreieck hat drei Seiten und drei Winkel. Jeweils zwei Seiten stehen unter einem ganz bestimmten Winkel zueinander. Die drei Ecken des Dreiecks werden mit den Großbuchstaben A, B und C bezeichnet. Die drei Seiten des Dreiecks werden mit den Kleinbuchstaben a, b und c bezeichnet, und zwar so, dass die Seite a gegenüber der Ecke A liegt. Die Seite b liegt gegenüber der Ecke B und die Seite c befindet sich gegenüber der Ecke C. Die von den drei Seiten eingeschlossenen Winkel werden mit α, β und γ bezeichnet, und zwar so, dass sich an den zwei Seiten der Ecke A der Winkel α befindet. An den zwei Seiten der Ecke B wird der Winkel β eingetragen. Die zwei Seiten, welche die Ecke C bilden, erhalten den Winkel γ.

Zusammenfassung zur bildhaften Vorstellung des Dreiecks

Die Seiten b und c treffen sich an der Ecke A unter dem Winkel α.
Die Seiten a und c treffen sich an der Ecke B unter dem Winkel β.
Die Seiten a und b treffen sich an der Ecke C unter dem Winkel γ.

Voraussetzungen zur eindeutigen Bestimmung eines Dreiecks

Bei jedem Dreieck gibt es sechs messbare Größen, die dessen Geometrie festlegen. Es sind dies die drei Seiten a, b, c und die drei Winkel α, β, γ.
Zur eindeutigen Bestimmung der Kontur eines Dreiecks müssen immer drei Größen gegeben sein:

  1. Es sind alle drei Seitenlängen bekannt (SSS).
  2. Es ist eine Seite, ein Winkel und eine zweite Seite bekannt (SWS).
  3. Es sind zwei Seiten und ein Winkel gegeben (SSW).
  4. Es ist ein Winkel, eine Seite und ein zweiter Winkel bekannt (WSW).

Lösungsweg für Fall 1 (SSS)

Man zeichnet mit dem Lineal die erste bekannte Seite in ihrer wahren Länge als waagerechte Linie. Die beiden Enden dieser Linie werden später zu zwei Ecken des zu konstruierenden Dreiecks. Nun nimmt man die Länge der zweiten Seite in einen Zirkel, setzt die Zirkelspitze auf das eine Ende der gezeichneten ersten Seite und schlägt einen Kreisbogen. Danach nimmt man die Länge der dritten bekannten Seite in den Zirkel, setzt die Zirkelspitze an das andere Ende der gezeichneten ersten Linie und schlägt wieder einen Kreisbogen. Der entstehende Schnittpunkt der beiden Kreisbögen bildet die dritte Ecke des gesuchten Dreiecks. Zum Schluss verbindet man mit dem Lineal den gefundenen Schnittpunkt mit den Enden der zuerst gezeichneten Linie und erhält damit das gesuchte Dreieck.

Lösungsweg für Fall 2 (SWS)

Man beginnt wieder mit der ersten bekannten Seite und zeichnet diese als waagerechte Linie. Nun legt man das Geodreieck mit seinem Mittelpunkt so an einen Endpunkt der gezeichneten Linie, dass der gegebene Winkel des gesuchten Dreiecks genau mit der Winkeleinteilung des Geodreiecks und der gezeichneten ersten Linie übereinstimmt. Jetzt kann man die zweite Seite, deren Länge wir noch nicht wissen, in verlängerter Form an die erste Linie antragen. Nun nimmt man die Länge der zweiten bekannten Seite in den Zirkel, setzt die Zirkelspitze an das andere Ende der zuerst gezeichneten Linie und schlägt einen Kreisbogen. Der entstehende Schnittpunkt des Kreisbogens mit der verlängerten zweiten Linie ist zugleich der dritte Eckpunkt des gesuchten Dreiecks. Jetzt verbindet man noch mit dem Lineal den gefundenen Schnittpunkt mit dem anderen Ende der ersten Linie. Damit ist das Dreieck fertig.

Lösungsweg für Fall 3 (SSW)

Wieder zeichnen wir die erste bekannte Seite mit dem Lineal als waagerechte Linie. Danach nehmen wir die Länge der zweiten bekannten Seite in den Zirkel, setzen die Zirkelspitze an das eine Ende der waagerechten Linie und schlagen einen Kreisbogen. Nun legen wir unser Geodreieck mittig an den anderen Endpunkt der zuerst gezeichneten waagerechten Linie so an, dass sich der gegebene Winkel für das gesuchte Dreieck mit der Winkeleinteilung des Geodreiecks und der waagerechten Linie deckt. Nun können wir die zweite Seite des Dreiecks zeichnen. Sie geht bis zum entstehenden Schnittpunkt mit dem Kreisbogen. Zum Schluss verbinden wir noch den Schnittpunkt des Kreisbogens mit dem anderen Ende der waagerechten Linie. Das Dreieck ist fertig konstruiert.

Lösungsweg für Fall 4 (WSW)

Wir beginnen mit der einen bekannten Seite und zeichnen diese mit dem Lineal als waagerechte Linie. Nun legen wir das Geodreieck mittig an das eine Ende der gezeichneten Linie so an, dass sich der erste gegebene Winkel mit der Winkeleinteilung des Geodreiecks und der gezeichneten waagerechten Linie deckt. Nun können wir die zweite Seite, deren Länge sich erst noch ergeben wird, in verlängerter Form zeichnen. Jetzt legen wir das Geodreieck mittig an das andere Ende der waagerechten Linie so an, dass der gegebene zweite Winkel mit der Winkeleinteilung des Geodreiecks und der waagerechten Linie deckungsgleich sind. Jetzt können wir die dritte Seite des Dreiecks zeichnen. Der Schnittpunkt mit der zweiten Linie bildet zugleich die letzte Ecke des gesuchten Dreiecks.

Fazit

Es ist bei der Konstruktion eines Dreiecks immer ratsam, mit einer bekannten Seite zu beginnen, welche man als waagerechte Linie mit dem Lineal in wahrer Länge zeichnet. Danach geht man Schritt für Schritt mit Zirkel, Geodreieck und Lineal in bekannter Weise vor.

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