Was ist eine Poisson- Verteilung? – Erklärung & Beispiel

Definition:

Die Verteilung von Poisson stellt einen Teil der diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung dar. Mit Hilfe dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung wird versucht die Anzahl von Ereignisse innerhalb einer bestimmten Zeit zu berechnen (Anzahl von Kunden in einem Geschäft)und die Anzahl von Gegenständen bzw. Menschen an einem bestimmten Ort zu einer gewissen Zeit (Anzahl von Bakterien in einem Liter Wasser. Um die Poisson-Verteilung als Rechenmethode verwenden zu können, wird vorausgesetzt, dass all diese Ereignisse zufällig und unabhängig voneinander eintreten. Hierbei ist auch wichtig, dass der Erwartungswert und die Varianz gleich sind und können ermittelt werden, indem die Stichprobe oder die Grundgesamtheit mit der Wahrscheinlichkeit multipliziert werden.

Diese Art der Verteilung wird auch als Rechnungsmethode für den Näherungswert der Binominalverteilung verwendet. Dieser Näherungswert wird auch Poisson-Approximation genannt. Dieser Wert wird benötigt, wenn eine hohe Anzahl von Versuchsdurchführungen und eine geringe Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen der Erwartung vorliegt, zum Beispiel mehr als 100 Versuchsdurchführungen und die Wahrscheinlichkeit liegt nur bei maximal 10%.
Deshalb wird die Poisson-Verteilung auch Verteilung der seltenen Ereignisse genannt.

Beispiel Fachgeschäft

Im Durchschnitt befinden sich in einem Geschäft ca. 5 Kunden pro Stunde und das unabhängig von der Tageszeit.
Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich eine Stunde lange kein Kunde in diesem Geschäft befindet?

Die Formel der Poisson-Verteilung lautet: P(x) = (λ x × e – λ) / x!. Hierbei ist x die Anzahl an Ereignissen in einem definierte Zeitraum, x! ist die Fakultät, λ (Lamda)ist der Erwartungswert oder auch Durchschnittswert (also hier in diesem Beispiel die fünf Kundenbesuche) und e ist die Eulersche Zahl2,71828 (auf fünf Kommastellen gerundet).

Berechnung: P (0) = (5 0 × e -5) / 0! = e -5 = 0,006738
Also ist das Ergebnis dieser Studie, dass die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Stunde kein Kunde das Geschäft betritt bei 0,67% und ist damit sehr gering.

Poisson-Approximation: Was ist die Poisson-Approximation?

Wie weiter oben schon genannt wird diese Approximation als Näherungswert für die Binominalverteilung verwendet und das ist der Fall, wenn die Anzahl der Versuche hoch ist. Mit der Hilfe dieses Wertes ist es möglich die Binominalverteilung anzunähern.

Das oben bereits vorgestellte Beispiel wird zu diesem Zweck adaptiert: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde im Zeitintervall von einer Sekunde das Geschäft betritt liegt bei 5 Besuchen / Stunde, also 5/3600 Sekunden und der Gegenvergleich ist dann 3.595/ 36000, da die Anzahl der Durchführungen 3.600 betragen, außerdem ist eine geringe Wahrscheinlichkeit zu erwarten.

Formel der Binominalverteilung: P (0) = { 3.600! / [ 0! × (3.600 – 0)! ] } × 5/3.600 0 × (3.595/3.600) (3.600 -0)
= 1 × 1 × (3.595/3.600) (3.600) = 0,00671 (auf 5 Stellen gerundet) = 0,67 % (annähernd wie oben)

Angenäherte Wahrscheinlichkeit für einen Besuch: P (1) = { 3.600! / [ 1! × (3.600 – 1)! ] } × 5/3.600 1 × (3.595/3.600) (3.600 -1)
= 3.600 × (5/3.600) 1 × (3.595/3.600) 3.599 = 0,03362 (auf 5 Stellen gerundet) = 3,36 %

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