Was ist eine Stetige Gleichverteilung? – Erklärung & Beispiel

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Definition

Bei der stetigen Gleichverteilung ist die Zufallsvariable x im jeweiligen vorgegeben Intervall immer gleichwertig und also ist die Wahrscheinlichkeit bei allen Intervallen die gleiche. Wenn das Intervall den Bereich [a, b] betrifft, dann gilt die Dichtefunktion f (x) ist: 1 / (b – a) für x-Werte innerhalb des Intervalls, die kumulative Dichtefunktion (x) ist: (x – a) / (b – a) für x-Werte innerhalb des Intervalls, o sofern x < a und 1 sofern x >= b ist, der Erwartungswert E(X) ist: (a + b) / 2 und die Varianz Var (X) ist: (b – a)2 / 12.

Beispiel U-Bahn:

Angenommen eine U-Bahn kommt alle zehn Minuten in eine gewisse Haltestelle, dann ergibt sich daraus die Frage wie hoch die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig kommender Fahrgast länger als sieben Minuten auf eine U-Bahn warten muss?

Da es sich um eine stetige Gleichverteilung handelt, kann der Fahrbahngast zu jeder beliebigen Uhrzeit in der U-Bahn auftauchen. Die Zufallsvariable X ist hierbei die Wartezeit und die Zufallsvariable ist gleichverteilt im Intervall 0 – 10 Minuten.

Zuerst muss man nun überprüfen ob die oben genannten Voraussetzungen gegeben sind:
Dichtfunktion (für Werte innerhalb des Intervalls): 1/ (10 – 0) = 1/10

Der Erwartungswert E(x)= (a + b) / 2 = (0 + 10) / 2 = 5
Die Varianz der Wartezeit var(x) ist b – a)2 / 12 = (10 – 0)2 / 12 = 100/12 = 8,33 (Minuten im Quadrat. Die Wurzel daraus ist dann die Varianz, also 2, 89 Minuten.

Die Frage ist danach möglich mit Hilfe der Gegenfunktion zu klären, das heißt F (x = 7) = (7 – 0) / (10 – 0) = 7/10 = 0, 7 = 70 %.

Also die Gegenwahrscheinlichkeit, dass der Fahrgast länger als sieben Minuten auf eine U-Bahn warten muss, liegt bei 30%.

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