Was ist eine totale Wahrscheinlichkeit? – Erklärung & Beispiel

Definition

Wenn die bedingten Wahrscheinlichkeiten bekannt ist, dann ist es möglich die sogenannte totale Wahrscheinlichkeit bzw. den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit zu berechnen. Hierzu werden die bedingten Wahrscheinlichkeiten gesichtet und aufaddiert:
Formel: P(B) = ∑ über i = 1 bis n für P (B | Ai) × P (Ai)#

Beispiel:

Hierzu wird das Beispiel vom Satz von Bayes weitergeführt. Es handelt sich um ein Unternehmen mit zwei Werken in denen die gleichen Produkte hergestellt werden. Da das Werk A größer ist, werden dort 70% der gesamten Produkte hergestellt. In diesem Werk liegt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Produkt defekt ist bei 10%. In Werk B werden die restlichen 30% hergestellt und hier ist die Wahrscheinlichkeit für ein defektes Produkt mit 20% doppelt so hoch als in Werk A.

Wie hoch ist die totale Wahrscheinlichkeit, dass ein Produkt, das in diesen Hallen hergestellt wurde defekt ist?

P… ist die Abkürzung für probability (Wahrscheinlichkeit)

Satz der totalen Wahrscheinlichkeit:

P(B) = P (B | A) × P (A) + P (B | ¬ A) × P (¬ A)
P (B) = 0,1 × 0,7 + 0,2 × 0,3 = 0,07 + 0,06 = 0,13 = 13 %.

Das heißt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Produkt, das in einer der beiden Hallen hergestellt wurde defekt ist, liegt bei 13%.

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