Was sind Komplexe Zahlen? – Beispiele, Grundlagen & Video

Dieser Artikel befasst sich mit komplexen Zahlen. Im Folgenden soll erläutert werden, wofür komplexe Zahlen benötigt werden, wie sie aussehen und wie sie dargestellt werden. Im ersten Schritt soll auf die Grundlagenkomplexer Zahlen als Teilgebiet der Mathematik eingegangen werden.

In der schulischen Laufbahn hat man sich bereits mit verschiedenen Arten von Zahlen auseinandergesetzt. So wären beispielsweise die natürlichen Zahlen (1, 5, 7, 9, 14, usw.) und die negativen Zahlen (-3, -5, -7, usw.) zu nennen. Auch irrationale Zahlen, wie Pi (3,141…) und die meisten Wurzelrechnungen sind Bestandteil des Lehrplans. Wer die Oberstufe erreicht oder ein Studium aufnimmt, der sieht sich mit einer neuen und ungewöhnlichen Zahlenart konfrontiert: Den komplexen Zahlen.

Komplexe Zahlen im Allgemeinen

Ausgehend von den normalen Zahlen aus der Schulzeit, ist es unmöglich eine Zahl zu quadrieren, um ein negatives Ergebnis zu erhalten. Ein Beispiel zur Veranschaulichung wäre das Folgende:

  • x² = -2

Eine normale Schüleraussage wäre: „Die Aufgabe ist unlösbar, da für x keine Zahl eingesetzt werden kann, die zu diesem Ergebnis führt“.
Um die Aufgabe berechnen zu können, was mit den natürlichen Zahlen nicht geht, muss nun vorläufig eine neue Variable herhalten: i. Dabei ist i eine imaginäre Einheit. Im physikalischen Spektrum wird statt dem i die Variable j verwendet. Da es hier aber um die Mathematik geht, wird die Formel wie folgt verändert:

  • i² = -2

Um eine komplexe Zahl zu erhalten, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein: Sie muss sich aus dem Realteil a und einem imaginären Teil b zusammensetzen. Der imaginäre Teil b muss mit dem i multipliziert werden. Ein veranschaulichendes Beispiel einer komplexen Zahl wäre demnach:

  • z = a + b x i

Wofür werden komplexe Zahlen benötigt?

Da eine komplexe Zahl abstrakt ist stellt sich die berechtigte Frage, wozu sie eigentlich benötigt wird und ob sie eine praktische Funktion hat. Dies ist der Fall. Komplexe Zahlen sind ein wichtiger Bestandteil verschiedener naturwissenschaftlicher Rechnungen. So werden etwa Wechselströme im Bereich der Elektrotechnik mit Hilfe von komplexen Zahlen berechnet. Es ist schwer vorstellbar, aber komplexe Zahlen erleichtern naturwissenschaftliche Berechnungen.

Die Darstellung komplexer Zahlen

Um komplexe Zahlen darzustellen, ist es nötig die gaußsche Zahlenebene (Gaußebene) zu betrachten. Diese erinnert an ein Koordinatensystem. Sollten die Informationen dazu nicht mehr präsent sein, so empfiehlt es sich an dieser Stelle das Gedächtnis ein wenig aufzufrischen. In einer Gaußebene sind die Achsen nicht mit x oder y beschriftet, sondern werden als Realteil (Re) und Imaginärteil (Im) bezeichnet.

diagramm

Im Folgenden soll das erste Beispiel einer komplexen Zahl, 2 – 3i, näher betrachtet werden. Dazu wurde eine Hypotenuse in blau eingetragen. Der dabei entstehende Winkel ist ebenfalls grün markiert.

Wo das Wort Hypotenuse fällt, da ist meist der Satz des Pythagoras der nächste Schritt. Wer diesen vergessen hat, sollte sich das Grundlegende zum Satz des Pythagoras an dieser Stelle noch einmal anlesen. Im Falle unseres Beispiels würde der Satz des Pythagoras wie folgt aussehen:

Satz des Pythagoras umgeformt

Im Rahmen dessen werden noch zwei weitere Relationen gewonnen:

umformung

Arbeiten mit komplexen Zahlen

Bis hierher wurden die Grundlagen komplexer Zahlen kurz vorgestellt. Um diesem Teilbereich der Mathematik vollends gerecht zu werden, ist ein Artikel nicht genug. So kann man sich weiterführend ansehen, wie komplexe Zahlen multipliziert, dividiert, addiert oder subtrahiert werden. Auch verwirrende Begriffe wie Polarkoordinaten und konjugiert komplexe Erweiterung können weiter vertieft werden.

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