Was sind Primzahlen, Teiler und Vielfache? – leicht erklärt

Der heutige Artikel behandelt die Primzahlen und die Primfaktorzerlegung. Außerdem wird in diesem Zusammenhang noch ein Blick auf gemeinsame Teiler und Vielfache verschiedener Zahlen geworfen und die dahinterstehende Mathematik erklärt.

Auf den weiterführenden Schulen werden recht zügig die Primzahlen und die Primfaktorzerlegung eingeführt. Aber wieso eigentlich? Zunächst einmal gehören Primzahlen zum Allgemeinwissen – und es schadet sicher nicht, mit ihnen bei der nächsten Familienfeier auftrumpfen zu können. Außerdem ist der Mathe-Unterricht – vielleicht noch mehr als die anderen Schulfächer – sehr stark pyramidenförmig aufgebaut. Das heißt, dass jedes einzelne Schuljahr bereits das Fundament für das kommende Jahr bildet, dass der Stoff immer aufeinander aufbaut. Und ein gekonnter Umgang mit den Primzahlen fördert nicht nur ein gewisses Zahlengefühl ungemein, sondern ist auch ein hervorragendes Hilfsmittel für die Bruchrechnung.

Primzahlen

Aber was genau ist eine Primzahl? Als eine Primzahl bezeichnet man eine natürliche Zahl, die größer als 1 ist und nur durch 1 und durch sich selber geteilt werden kann. Sie hat also genau zwei natürliche Teiler. Das klingt ein wenig abstrakt, ist aber ganz einfach, wenn man sich einmal ein Beispiel vor Augen geführt hat. Die Zahl 4 kann durch 1, durch 2 und durch sich selbst, also durch 4 geteilt werden. Sie hat also drei natürliche Teiler und ist keine Primzahl. 5 hingegen ist lediglich durch 1 und durch 5 (also sich selbst) teilbar – 5 ist also eine Primzahl. Es gibt unendlich viele Primzahlen, hier findet ihr die Kleinsten von ihnen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, …

Primfaktorzerlegung

Als Faktoren werden die einzelnen Bestandteile in einer Multiplikation bezeichnet. Primfaktorzerlegung heißt also nichts anderes, als das eine Zahl so weit zerlegt wird, dass ihre einzelnen Faktoren nur noch aus Primzahlen besteht. Auch dies klingt wieder komplizierter, als es letztlich ist, wie ihr an den folgenden Beispielen einfach sehen könnt:

Beispiel 1

  • 24 = 2 · 12
  • 24 = 2 · 2 · 6
  • 24 = 2 · 2 · 2 · 3
  • Die Zahlen 2 und 3 sind Primzahlen.

Beispiel 2

  • 90 = 2 · 45
  • 90 = 2 · 5 · 9
  • 90 = 2 · 5 · 3 · 3
  • Die Zahlen 2, 3 und 5 sind die Primzahlen

Der größte gemeinsame Teiler (ggT)

Den größten gemeinsamen Teiler entdeckt man am einfachsten, wenn man die Teilermengen miteinander vergleicht. Die Teilermenge besteht aus allen Zahlen, durch die eine Zahl ohne Rest teilbar ist.

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Beispiel 1 (ggT von 6 und 12)

  • Die Teilmenge von 6 besteht aus: 1, 2, 3, 6
  • Die Teilmenge von 12 besteht aus: 1, 2, 3, 4, 6, 12
  • Die größte Zahl in der Teilmenge ist die 6, der ggT ist also die 6.

Beispiel 2

  • Teiler von 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
  • Teiler von 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
  • Die Zahl 12 ist die größte Zahl, die bei beiden Teilern vorkommt

Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Für das kleinste gemeinsame Vielfache wird der umgekehrte Weg gegangen: Die Vielfachen derselben Zahl werden miteinander verglichen und das kleinste hiervon ist das kgV. Kurzer Hinweis: Ein gemeinsames Vielfaches ist immer, wenn beide Zahlen direkt miteinander multipliziert werden – dies ist aber nicht immer das kleinste gemeinsame Vielfache!

Beispiel 1 (kgV von 6 und 18)

  • Vielfache von 6 sind: 6, 12, 18, 24, …
  • Vielfache von 18 sind: 18, 36, 54, …
  • Das kgV ist also 18.

Beispiel 2

  • Vielfache von 12: 12, 24, 36, 48, 60 ….
  • Vielfache von 18: 18, 36, 54, 72, 90 …
  • Kleinste gemeinsame Zahl ist somit die 36.

Übungsaufgaben

Auch hier gilt: Übung macht den Meister! Wer den Umgang mit Primzahlen, ggTs und kgVs
üben möchte, schaut am Besten noch einmal in unserem Übungsbereich für Bruchrechnungen vorbei.

Übungsaufgaben kommen noch!

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