Wertemenge / Wertebereich in wenigen Schritten bestimmen – so gehts

Dieser Artikel befasst sich mit dem Wertebereich / der Wertemenge. Hierzu wird euch anschaulich und mit passenden Beispielen erklärt, was genau man unter den Begriffen versteht darf. Der Text behandelt die allgemeine Mathematik.

Um mit Wertemengen / Wertebereichen arbeiten zu können, solltet ihr euch am besten erst einmal mit den Grundlagen von linearen oder quadratischen Funktionen vertraut machen.

Video-Erklärung
Diese Thematik behandeln wir auch ausführlich per Video. Hier werden euch typische Aufgaben zur Thematik Wertebereiche / Wertemengen vorgestellt und anhand von anschaulichen Beispielen erklärt.

Wertemenge / Wertebereich – Definition

Folgend ein kleiner Hinweis: Eine Definition zu der Thematik die wir hier behandeln ist leider nicht vollkommen eindeutig. In der Schule lernen wir zumeist alle Y-Werte zu berechnen, die Funktionen annehmen können. Nun stellt sich uns folgende Frage:
Auf welchem Wege kann ich alle Y-Werte herausfinden?
Hierzu nun ein Beispiel zur graphischen sowie mathematischen Ermittlung dieser Werte.

1. Beispiel:

Schauen wir uns zunächst einmal die Funktion f(x) = y = x² an. Graphisch dargestellt erhalten wir eine Parabel. Diese wird nun ins Koordinatensystem eingezeichnet.
Wir können anhand der Graphik erkennen, dass jegliche Y-Werte Null oder größer als Null sind.

wertemenge-wertebereich1

Der tiefste Punkt der Funktion für den Y-Wert ist somit x = 0 sowie y = 0.
An dieser Graphik ist dieser Wert einfach abzulesen, dies ist aber nicht immer der Fall. Sollte der Wert nicht einfach abzulesen sein, muss die Ableitung angewendet werden um Hoch- und Tiefpunkte finden zu können.
Eine Hilfestellung wäre die Untersuchung der Funktion im Definitionsbereich, beziehungsweise eine Untersuchung gegen minus-plus Unendlich.
Hier kann man erkennen, dass die Y-Werte der Funktion ab Null bis Unendlich gehen.
Der Wertebereich für die gezeigte Graphik wäre somit W = [ 0, ∞ )

2. Beispiel:

Sehen wir uns die Funktion y = -x² genauer an. Graphisch dargestellt ist dies ebenfalls eine Parabel, allerdings steht sie über Kopf. Hier haben wir einen maximalen Y-Wert von Null der nach Unendlich im Minusbereich offen steht.
Der Wertebereich ist somit W = ( -∞, 0 ]

wertemenge-wertebereich2

3. Beispiel:

Ein etwas komplizierteres Beispiel liefert uns folgende Funktion: f(x) = y = 3x . e⁻²x+¹.
Hier soll erneut der Wertebereich / die Wertemenge genannt werden.
An der Graphik kann man den wichtigen Funktionsbereich erkennen.
Die Graphik hat ihren Ursprung im Minusbereich, daher können wir vermuten dass sie ihren maximalen Y-Wert irgendwo zwischen 1 und 2 haben muss.
An einer Wertetabelle ist es schier unmöglich den genauen Punkt zu erkennen, also müssen wir versuchen den Wert auf rechnerischem Wege herauszufinden.
Folgend die Graphik zur oben genannten Funktion.

wertemenge-wertebereich3

Um die Maximalstelle der Funktion finden zu können, muss man die Funktion zunächst zweimal ableiten.
Die Ableitung wird anschließend Null gesetzt, so können wir den Wert x1 = 0,5 finden. Dieser Wert wird in die zweite Ableitung eingesetzt um herauszufinden, ob die Funktion hier einen Hochpunkt besitzt.
Anhand der berechneten Werte können wir mit der Hauptfunktion f(x) bei y = 1,5 den Hochpunkt lokalisieren. Der Wertebereich wäre somit W = ( -∞, 1,5 ].

f(x) = 3x . e2x+1

f'(x) = (3 – 6x) . e2x+1

f“ (x) = (-12 + 12x) . e2x+1

f'(x) = 0 = (3 – 6x) . e2x+1

x1 = 0,5

f“(0,5) = (-12 + 12 . 0,5) . e-2 . 0,5 + 1

f“(0,5) = -6 kleiner als 0 also ein Hochpunkt

f(0,5) = 3 . 0,5 . e-2 . 0,5 + 1 = 1,5

Hochpunkt (0,5 | 1,5)

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