Winkel berechnen: Formel, Beispiel, Tipps & Video

Das Berechnen von Winkeln ist ein wichtiges Thema. Im folgenden Artikel möchten wir uns mit diesem Thema befassen. Des Weiteren erhalten Sie die wichtigen Informationen bzw. Formeln und Beispiele. Dieser Mathematikbereich mit dem wir uns heute beschäftigen, gehört in den Bereich der Mittelstufe.

In der Mathematik findet man viele verschiedene Formeln, mit deren Hilfe man die Winkeln berechnen kann. Sie erhalten eine Art Auflistung zum Thema Winkel berechnen und im Anschluss gehe wir auf das Thema etwas näher ein und geben Ihnen einige Beispiele und Formeln.

Die Themen sind folgende:

  1. Die Winkelfunktionen die mit sin, cos und tan berechnet werden.
  2. Sinussatz und Kosinussatz
  3. Winkelsumme von einem Dreieck und einem Viereck
  4. Wie berechnet man einen Schnittwinkel?

Die Winkelfunktionen die mit sin, cos und tan berechnet werden

Eine Winkelfunktion ist dazu da, um einen Winkel berechnen zu können. Mit Hilfe der Funktion von Sinus, Kosinus oder Tangens kann man nur einen rechtwinkligen Dreieck berechnen.
In der folgenden Grafik können Sie solch einen Dreieck sehen. Im weiteren Verlauf gehen wir etwas näher auf das Berechnen des Winkels ein.

Satz des Thales

Hier sehen Sie einen Dreieck mit einem rechten Winkel. Jetzt wäre es angebracht, dass Sie sich ein paar wichtige Begriffe merken!
Diese werden immer wieder auftauchen und Sie werden diese Begriffe sehr oft bei der Berechnung benötigen.
Des Weiteren muss man einige Eigenschaften festhalten.

  • Den Rechte Winkel im Dreieck, sehen Sie rechts unten.
  • Der Buchstabe α den Sie links unten im Winkel sehen, heißt „Alpha“.
  • Die Seite die mit dem Buchstaben a versehen ist, wird auch die Gegenkathete bezeichnet, weil die Seite a gegenüber vom Winkel α liegt.
  • Unten sehen Sie die Seite, die mit dem Buchstaben b versehen ist. Diese heißt „Ankathete“.
  • Die Seite die mit dem Buchstaben c versehen ist, heißt „Hypotenuse“.

Wenn Sie den „Satz des Pythagoras“ gelernt haben, müssten Ihnen die Bezeichnungen Ankathete, Hypotenuse und die Gegenkathete bekannt sein.
Sie haben eine der Möglichkeiten den Winkel mit der Sinus Formel zu berechnen.
Hier sehen Sie die Mathematische Formel für die Berechnung des Winkels mit der Sinus Formel:

Wichtig:

  • Für α also „Alpha“ setzt man den Winkel in Grad ein. Man nimmt zum Beispiel 40 oder 60 Grad.
  • Man setzt immer die gleiche Einheit ein, für die Länge der Gegenkathete und der Hypotenuse. Das bedeutet zum Beispiel man nimmt für beides die Einheit in Zentimeter.
  • Der Taschenrechner muss auf DEG, was „Degree“ bedeutet eingestellt werden. Tut man das nicht, so erhält man ein falsches Ergebnis.
  • Will man den Winkel ausrechnen, so muss man mit dem arcsin arbeiten. Weitere Information erhalten Sie in Beispiele.

Beispiel Nr. 1 (Sinus):

Formel:

Sinus Formel

Nehmen wir an die Gegenkathete besitzt eine Länge von 2 cm. Das bedeutet ( a = 5 cm ).
Die Hypotenuse weist eine Länge von 5 cm auf. Das bedeutet ( c = 3 cm ).
Wie groß wäre dann der Winkel α, der sich wie wir gelernt haben „Alpha“ nennt?

Die Lösung:

sinα = a : c
sinα = 2 cm : 5 cm
sinα = 0,4 | arcsin
α = 23,58 Grad

Erklärung zu der Berechnung:

Man übernimmt die Zahlen in die Sinus-Gleichung. Danach erhält man durch das Berechnen die Division für die rechte Seite. Man erhält den Wert von sinα = 0,4 Grad.
Jetzt kommt der wichtige und entscheidende Teil. Damit man das sin weg kriegt, muss man den arcsin nutzen. Folglich muss man in den Taschenrechner arcsin 0,4 eingeben. Wenn euer Taschenrechner auf DEG also (Degree) steht, erhält man das Ergebnis von 23,58 Grad.

Beispiel Nr. 2 (Cosinus):

Formel:

Kosinus Formel

Die Ankathete weist eine Länge von 5 cm auf. Bedeutet ( b = 5 cm )
Die Hypotenuse weist eine Länge von 7 cm auf. Bedeutet ( c = 7 cm )
Wie groß wäre folglich der Winkel α „Alpha“?

Die Lösung:

cosα = b : c
cosα = 5 cm : 7 cm
cosα = 0,7 | arccos
α = 66,42 Grad

Erklärung zu der Berechnung:

Man übernimmt die Zahlen in die Cosinus-Gleichung und setzt diese ein.
Folglich errechnet man die Division für die rechten Seite aus. Man erhält cosα = 0.4 Grad.
Jetzt kommt wiedermal der interessante und wichtige Teil. Damit man das cos wegbekommt, muss man arccos benutzen. Man muss folglich also in den Taschenrechner arccos 0,4 eingeben!
Wenn der Taschenrechner auf DEG (Degree) umgestellt wurde, erhalten Sie das Ergebnis von 66,42 Grad.

Beispiel Nr. 3 (Tangens):

Tangens Formel

Nach dem wir Sinus und Cosinus Funktionen berechnet haben, gehen wir auf die Tangens-Funktion ein.
Hier ist die Tangens Formel:

Die Ankathete weist eine Länge von 3 cm auf. Das bedeutet ( b = 3 cm ).
Die Gegenkathete weist eine Länge von ebenfalls 5 cm auf. Das bedeutet ( a = 3 cm ).
Wie groß wäre dann der Winkel von α ( „Alpha“ )?

Die Lösung:

tanα = a : b
tanα = 3 cm : 3 cm
α = 45 Grad

Erklärung zu der Berechnung:

Zunächst einmal übernimmt man die Zahlen in die Tangens-Gleichung. Danach rechnet man die Division, die sich auf der rechten Seite ergeben hat aus. Man erhält somit tana = 1.
Jetzt kommt schon wieder der wichtige und interessante Teil der Aufgabe. In euren Taschenrechner müsst Ihr arcan 1,0 eingeben. Dadurch wird der Winkel von 45 Grad errechnet, vorausgesetzt Ihr habt den Taschenrechner auf DEG (Degree) eingestellt.

2. Der Sinussatz und der Cosinussatz

Der Sinussatz stellt in der Trigonometrie die Beziehung zwischen des Dreiecks und den Winkeln und seinen Seiten die gegenüberliegen her.
Die Formeln des Sinussatzes nehmen Bezug auf die vorliegenden Grafik:

gleichschenkliges-dreieck-mit-winkeln

Sinussatz Formeln:

Sie werden feststellen, dass die die Sinuswerte der Winkel die gegenüberliegen sich in jedem Dreieck wie die Längen zweier Seiten des Winkels verhalten.
Hier sehen Sie ein Beispiel:

a : sin(α) = b : sin(β) = c : sin(γ)

Als Verhältnisgleichung wird der Sinussatz häufig formuliert:

a : b : c = sin(α) : sin(β) : sin(γ)

Beispiel:

Nehmen wir an uns sind folgende Längen bekannt:
Die Länge a = 5 cm, b = 4 cm und der Winkel α (Alpha) = 70 Grad.
Man soll den Winkel β (Beta) berechnen.

Die Lösung:

Man entnimmt dem Text die Angaben über die Zahlen und übernimmt dann die Zahlen in die Formel ein.
Die Erklärung zur der Berechnung erhalten Sie unter der Formel.

 

sinus-beispiel

Man stellt die Formel nach sin(β) um und man setzt im weiteren Verlauf die Werte, die man oben vorgegeben bekommen hat ein.
Über den arcsin erhält man am Ende den Winkel.

Der Cosinussatz zeigt in der Trigonometrie die Beziehung zwischen dem Dreieck, den drei Seiten und dem Winkel.
Die Formeln für den Cosinussatz lehnen sich an die folgende Grafik an:

Die Cosinussatz Formel:

Der Cosinussatz zeigt die Beziehung in der Trigonometrie zwischen den drei Seiten des Dreiecks und dem Cosinus eines der drei Winkel im Dreieck.
Hier ist die Formel:

a² = b² + c² – 2bc * cos(α)

b² = a² + c² – 2ac * cos(β)

c² = a² + b² – 2ab * cos(γ)

Beispiel:

Wir nehmen an es sind a = 11, b = 10 und c = 13 gegeben.
Wir sollen den Winkel α berechnen. Hier können Sie das Ergebnis dieser Aufgabe sehen. Eine Erklärung zu der Berechnung erhalten Sie weiter unten.

 

Kosinus Beispiel

Man stellt als erstes die Formel so um, dass cos(α) nur auf der einen Seite der Gleichung steht. Alle anderen Angaben stehe auf der anderen Seite. Folglich setzt man die Werte ein und berechnet diese.
Am Ende muss man den arccos anwenden, damit man den Winkel erhält.

Winkelsumme von einem Dreieck und einem Viereck

Lassen Sie uns mit einem Dreieck beginnen. Ein Dreieck hat drei Seiten und folglich auch drei Winkel.
Diese Grafik sollte Ihnen verdeutlichen, wie ein Dreieck normalerweise aussieht:

gleichschenkliges-dreieck-mit-winkeln

Für die Berechnung der Winkel ist folgendes sehr wichtig: Wenn man die Winkel in einem Dreieck summiert, erhält man ein Ergebnis von 180 Grad.
Das bedeutet:

– α + β + γ = 180 Grad

Beispiel:

Der Winkel Alpha ist 60 Grad und der Beta Winkel ist 90 Grad. Dann ist der Winkel Gamma 30 Grad, denn insgesamt zusammen gerechnet ergibt ein Dreieck 180 Grad.

Viereck:

Was ist ein Viereck? Beginnen wir damit uns auseinander zu setzen. Ein Viereck beinhaltet eine Eben von vier Strecken, die eine eingeschlossene Figur bilden. Die vier Strecken werden auch als die Seiten des Vierecks betitelt. Einen gemeinsamen Eckpunkt haben die Seiten auch wenn diese auseinander liegen.

winkelsumme-berechnen-viereck
Diesen Eckpunkten werden die vier Großbuchstaben, wie A, B, C und D zugeteilt. Die Winkel werden in einem mathematischen positivem Sinne in einen Viereck eingezeichnet.
Die folgenden Winkel lauten:

  • α (Alpha),
  • β (Beta),
  • γ (Gamma) und
  • δ (Delta).

Die Strecken die zusammenverbunden einen Viereck bilden, nennt man

  • a,
  • b,
  • c und
  • d.

Auf der folgenden Grafik können Sie einen Viereck sehen:

Viereck und seine Eigenschaften:

Umfang: a + b + c + d

Winkelsumme: = 360 Grad = α + β + γ + δ

Information: Der Viereck besteht aus: vier Ecken, vier begrenze Strecken und viel Innenwinkel.

Wie berechnet man einen Schnittwinkel

In diesem Abschnitt schauen wir uns genau an, wie man diesen Schnittwinkel zweier Geraden und den Schnittwinkel zwischen einer Ebenen und einer Geraden berechnen kann.

Berechnung des Schnittwinkels zwei Geraden:

Als erstes müssen sich die beiden Geraden schneiden. Wenn sich zwei Geraden nicht schneiden, ist es irrsinnig den Schnittwinkel zu berechnen.
Falls Ihr in der Aufgabenstellung nicht finden könnt, dass die zwei Geraden sich schneiden, kann man dies normalerweise selbst prüfen.
Sind Sie sicher, dass es ein Schnittpunkt existiert, so können Sie Anfangen die Berechnung des Schnittwinkels zu führen.

Die Formel für die Berechnung des Schnittwinkels:

schnittwinkel

Achtung: Bevor man den arccos anwendet, sollte man sichergehen, dass der Taschenrechner auf DEGREE eingestellt ist.

Berechnung des Schnittwinkels Gerade zu Ebene:

Formel:

Schnittwinkel berechnen

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